14 Max Brückner, 



gemessen g-leieh den Innenwinkeln oder Kantenwinkeln der Ecke sind, 

 dessen Winkel mit den Flächen winkeln der Elcke übereinstimmen. 

 Ist auch nur ein Flächen winkel liberstumpf, so heisse die Ecke nicht- 

 konvex, sonst konvex. Ein Polyeder heisse nichtkonvex, wenn mindestens 

 eine seiner Ecken nichtkonvex ist. Es braucht also ein nichtkonvexes 

 Polyeder keine überstumpfen Kantenwinkel zu besitzen.') — Eine Ecke ist 

 mit ihrem sphärischen Polygone gleichzeitig kontinuierlich oder dis- 

 kontinuierlich. Bildet man die Polarfigur des sphärischen Polygons, 

 d. h. dasjenige sphärische Polygon, dessen Kanten die Polaren (Hauptkreise) 

 zu den Ecken des ursprünglichen Polygons und umgekehrt sind, so be- 

 stimmt dieses die Polar ecke der ursprünglichen. Für die Artbestimmung 

 eines sphärischen Polygons kommen nun zwei Zahlen in Betracht, vou 

 denen die eine «, sich auf die in AVinkelmass ausgedrückten Kanten, die 

 andere «„ sich auf die Umfangswiukel bezieht. Für die Polarfigur des 

 Polygons ist dann «', = «„ und «'„ = «,. Es genügt also, direkt aus der 

 Figur des Polygons «„ und aus der Polarfigur «'„ zu bestimmen. Sind nun 

 (o,, o}-2 . . . die Winkel des Polygons, 0,, öo . ■ ■ seine Kanten, o?',, oj'., . . . und 

 ö'i, ö'a . . . bezw. die Winkel und Kanten des Polarpolygons, so gilt zunächst 

 für ein gewöhnliches Polygon: (», + 0', = jc, also JT«, + j;ö', = u.jc oder 



^oj, — (» — 2)x + ^a'i = 2jc. 



Es ist aber 2:0?, — (w — 2)jr der sphärische Exzess des Polygons oder 

 seine Fläche F in Winkelmass gemessen, und .So', = Utd, d. h. die Kauten- 

 summe des Polarpolygons gleich der Summe U der Umfangswiukel des 

 ursprünglichen Polygons, sodass F+ U = 23t ist. Für ein beliebiges Poly- 

 gon ist dann: 



3) F+U= a„.2Ji, 



worin «„ die obengenannte Artzahl der Ecke ist. Andererseits ist für das 

 Polarpolygon F + U' ^ a'„.2jt = a,.2jt. Dabei ist auch U' = 2-0,, d. h. 

 gleich dem Umfang, F = D (der sog. sphärische Defekt) für das ursprüng- 

 liche Polygon. Die Bestimmung der Zahl «„ aus der Figur des sphärischen 

 Polygons auf der Kugel hat den Vorteil, dass man direkt die Flächenteile 



*) Fedorow bezeichnete nichtkonvexe Polyeder ohne überstnmpfe Kantenwinkel als 

 Koilol'der. 



