Die gleiclieckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvesen Polyeder. 15 



ablesen kann, während die Bestimmung' der Summe der Umfangswinkel 

 nach demselben Prinzipe, auch für überstumpfe Winkel, erfolgt, wie bei 

 den ebenen Polygonen. Werden bei einem sphärischen «-eck zugleich die 

 Seiten und die Winkel durch ihre Ergänzungen zu 2jt ersetzt, so sind die 

 Artzahlen für das neue w-eck: 2w — «„ und 2« — «,. 



Wir erläutern das Gesagte zunächst an den sphärischen Dreiecken, 

 deren es acht Typen gibt (Fig. 7 — 14 Tat". 1). Der Einfachheit wegen 

 wählen wir die drei Punkte A^, A.., A^ der Kugel, durch welche die drei 

 die sämtlichen Dreiecke bildenden Hauptkreise zu legen sind, als die Ecken 



eines Oktanten, dessen Fläche y ist. Wir haben dann bei Beachtung der 

 Schraffierung des Perimeters für die Flächen und Umfangswinkel der acht 

 Dreiecke die folgenden Werte, aus denen sich die beigesetzten Artzahlen a„ 

 ergeben, während «s aus der polaren Figur zu entnehmen ist. Es ist der 

 zweite und dritte, der sechste und siebente Typus polar zu einander, die 

 übrigen Typen sich selbst polar zugeordnet, d. h. autopolar, wovon man 

 sich leicht durch Konstruktion der Polarfiguren überzeugen kann.') Es 

 ist für den 



7.Typus(Fig.l3)F=5. J + 1.(2.1) = 7. J. U=2 ."^ + \ ^^- = h .y «„ = 3. («, = 3). 

 8.Typu8(Fig.l4)F=5.J + 2.(^2.j) = 9.J- [/= 1 .| + 2. ^g'' = 7.|- «„ = 4. («, = 4). 



') Die Flächenkoeffizienten sind so zu bestimmen, dass der auf der nicht schraffierten 

 Seite des Perimeters liegende „äussere" Teil der übrigen Kugelfiäche den Koeffizienten Null 

 hat. Das Übrige ergibt sich von selbst. 



