Ib Max Brückner, 



Für die an Polyedern auftretenden «-kantigen Ecken kommt nur 

 die Artzahl «„ (kurz mit « bezeichnet) in Betracht, die. wenn die Aussen- 

 seite des Polyeders mit der Innenseite vertauscht wird, d. h. alle eheneu 

 Kantenwinkel und alle Flächenwinkel gleichzeitig durch ihre Ergänzungen 

 zu 2jt ersetzt werden, in 2n—a übergeht. An dem in Fig. 15 Taf. 1 dar- 

 gestellten Polyeder kommen sämtliche zu den eben angeführten acht Typen 

 gehörigen dreikantigen Ecken vor. Wir denken uns zunächst das ganze 

 Gebilde an der äusseren Seite gefärbt und bezeichnen die Flächenwinkel, 

 die immer auf der ungefärbten Seite des Polyeders zu messen sind, mit 

 m bezw. tc^, je nachdem sie kleiner oder grösser als jr sind, die Kanten- 

 winkel in gleicher Weise mit sx bezw. v (Sie sind auf der Aussenseite 

 des Polyeders zu rechnen, also ^jr, je nachdem sie als Innenwinkel ihres 

 Polygons ^jT sind.) Dann ist für die 



Vertauscht man die Aussenseite dieses Polyeders Fig. 15 mit seiner 

 Innenseite, denkt sich also die Färbung auf der entgegengesetzten Seite 

 angebracht, und schreibt dann Ä' statt A u. s. w., so ist für die: 



Ecke A': w.j = 3. s,j = 3. vergl. Typus 4. ß = 5. 



Ecke B': «> = 3. Sg = 3. vergl. Typus 3. ß = 2. 



Ecke C: tVi = 1. iVg ^2. 5<= 1. Sg = 2. vergl. Typus 8. ß =: 4. 



Ecke D': Wt == 2. iVg = 1. Sjc =1. s, = 2. vergl. Typus 7. « = 3. 



Zum Schlüsse sei noch eine vierkantige nichtkonvexe Ecke (und ihr 

 sphärisches Polygon) betrachtet, wie sie besonders häutig an den später zu 

 berücksichtigenden Polyedern auftreten. Wir konstruieren das sphärische 

 Polygon Fig. 16 Taf. 1 durch vier Hauptkreise so, dass die gesamte Kugel- 

 obertiäche durch sie in 24 kongruente rechtwinklig -gleichschenklige Drei- 

 ecke zerlegt wird. Für das Polygon Ai A-, A^ Ai sind bei der angegebenen 



Schraffierung die Umfangswinkel in Ai, A., A^, A^ bezw. 2.^, 5.—; 4.^> ^, 



3 3 3 3 



also r = 4jr. Die Fläche ist 4 . ^2 . |W 16 . A . j) , d. h. F= 4jr. Hiernach 



