Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 17 



ist a = 4. Für die entgegengesetzte Schraffierung ist, wie man sich leicht 

 nach Zeichnung der neuen Figur überzeugt, für die Umfangswinkel in der- 

 selben Reihenfolge: 4.|, 1.^, 2.|, 5.^^ d.h. V = 4^ und F'=16.(^l.Jj 



-j- 4.r2 .|^j = 4jr, d. h. es ist « wiederum gleich 4. Eine solche vierkantige 

 überschlagene Ecke der Art « = 4 besitzt zwei überstumpfe Kantenwinkel 

 und zwei ebensolche Flächenwinkel und geht bei Umfärbung des Polyeders 

 in sich selbst über. 



Die Art einer diskontinuierlichen Ecke ist gleich der Summe der 

 Artzahlen der sie konstituierenden Klinzelecken. — Die eingangs gegebene 

 Definition der Ecke eines Polyeders schliesst nicht aus. dass zwei (oder 

 mehrere) ihrer nicht aufeinander folgenden Kantenwinkel in einer Ebene 

 liegen, wie dies Taf. 1 Fig. 4 andeutet, wenn man an Stelle dieses Sechs- 

 ecks ein sechskantiges s])härisches Polygon setzt, dessen Hauptkreisbogen 

 AB und DE längs ÄE zusammenfallen. Ein solcher Fall tritt z. B. sicher 

 ein, wenn die Polyederecke den Kantenwinkel Ä des Sechsecks Fig. 6 be- 

 sitzt. Dann enthält die äussere Oberfläche des Polyeders eine Flächenzelle 

 mit dem Koeffizienten -f- 2. Einen ähnlichen Fall haben wir, wenn die 

 Ecke A des Sechsecks Fig. 3 zur Bildung einer Polyederecke beiträgt, bei 

 welcher dann zwei verschiedene Zellen entgegengesetzten Vorzeichens einer 

 und derselben Grenzfläche in einer Ebene liegen, während das dazwischen 

 befindliche Stück der Oberfläche den Koeffizienten Null hat, also eine 

 (scheinbare!) Öffnung des Polyeders darstellt. (Vergl. z. B. die Polyeder 

 Taf. 24 Fig. 4 und Taf. 26 Fig. 12.) 



3. Die Formel von Hess und die Einteilung der niehtkonvexen 

 Polyeder. Den weiteren Betrachtungen wird die allgemeinste Definition 

 des Polyeders zu Grunde gelegt, das nur stets zweiseitig vorausgesetzt ist. 

 Bildet man die Summe der Polarecken seiner sämtlichen Ecken, indem man 

 von einem beliebigen Punkte des Raumes Normalen auf die Innenseiten 

 sämtlicher Grenzflächen fällt und durch je zwei solcher Normalen, die zwei 

 sich in einer Kante des Polyeders schneidenden Grenzflächen entsprechen, 

 Ebenen legt, so wird das von diesen sämtlichen P^benen auf der um das 

 gemeinsame Zentrum der Normalecken beschriebenen Kugel erzeugte Netz 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. ' 3 



