18 Max Brückner, 



von sphärischen Polygonen die Kugel ein oder mehrere Male bedecken. 

 Die Anzahl dieser Kugelbedeckungen ist die Artzahl A des 

 Polyeders. Nun ist die Fläche F eines solchen Polygons, wenn « die 

 Artzahl der Ecke, U die Summe der Flächenwinkel des Polygons und zu- 

 gleich die Summe tv der ebenen Winkel der Ecke des Polyeders ist, gegeben 

 durch F^ a .2n — IV. Beträgt also die Summe aller Polygone A Kugeln, so ist 



iJi^a — Ziv = A.iJt. 



Dabei ist für ein Polygon tv ^= nn + 2xji — 2<ijt. Summiert man über sämtliche 

 Flächen des Polyeders, so kommt: 



Zw = Ji^n -f 2nZx — '2ji2a. 



Es ist aber Zn die Kantenzahl sämtlicher Flächen, d. h. die doppelte Kanten- 

 zahl des Polyeders, so dass bei Tilgung des Faktors 2jc aus den vorher- 

 gehenden die Gleichung resultiert: 



4) 2A = Za + Sa — Z:>c — K. 



Diese für die Art A aller zweiseitigen Polyeder gültige Formel von Hess, 

 in der Za und Za die Summe der Artzahlen aller Flächen und Ecken, 

 Zii die Zahl der am Polyeder vorhandenen überstumpfen Kanten winkel 

 und K die der Kanten bedeutet, i.st der allgemeinste Ausdruck des Eul er- 

 sehen Satzes, in dessen speziellere Form für konvexe Polyeder (und 

 Koiloeder) sie übergeht, wenn JS'x = o ist (Wieners Formel), während 

 sie für Polyeder der Art ^ = l (Eulersche Polyeder) zu f + e = K -{- 2 

 wird, da sämtliche a und « dann 1 sind. Die Formel gilt auch für dis- 

 kontinuierliche Polyeder und ist dann gleichwertig mit A = SA,^ wenn die 

 Ai die Artzahlen der i Einzelpolyeder sind. Besitzt ein konvexes Polyeder 

 die Art A, so ist, falls es einen Punkt gibt, aus dem alle positiven Normalen 

 auf die Grrenzfläche deren Innenseite treffen, A zugleich die Zahl der Kugel- 

 bedeckungen, wenn man die Oberfläche des Polyeders aus jenem Punkte 

 auf eine das ganze Polyeder umschliessende Kugel projiziert und stimmt 

 mit dem höchsten vorkommenden Koeffizienten der räumlichen Zellen überein. 

 Bestimmt man nämlich nach Festsetzung der äusseren Oberfläche eines 

 Polyeders den Inhalt der Zellen des Raumes, in die dieser durch die Fläche 

 des Polyeders geteilt wird, in analoger Weise wie den der Zellen eines 



