Die grleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und niclitkonvexen Polyeder. 19 



ebenen Polygons, indem man hier, aus dem Aussenraum mit dem Koeffi- 

 zienten Null kommend , der folgenden Zelle einen um + a verschiedenen 

 Koeffizienten beilegt, je nachdem die Grenzfiächenzelle mit dem Koeffizienten 

 a von der äusseren (gefärbten) Seite zur inneren oder umgekehrt durch- 

 schritten wird, so ergibt sich der gesamte Inhalt des Polyeders als die 

 algebraische Summe aller Zellen (mal dem Einheitswürfel) und hat für 

 konvexe Polyeder einen bestimmten positiven Wert. Für nichtkonvexe 

 Polyeder kann sich die Summe, falls positive und negative Zellen auf- 

 treten, auf Null reduzieren. Nichtkonvexe Polyeder, deren sämtliche Grenz- 

 flächen aus gleichviel Paaren kongruenter Zellen mit entgegengesetzten 

 Vorzeichen bestehen, also an sich schon den Flächeninhalt Null besitzen, 

 wonach auch die Oberfläche des Polyeders Null ist, haben stets den Inhalt 

 Null') (ohne dass sie einseitig sind!). Wir bezeichnen solche nichtkonvexe 

 Polj'eder als nichtkonvexe Polyeder zAveiter Klasse oder kurz als Null- 

 polyeder. Für jedes andere nichtkonvexe Polyeder, als erster Klasse be- 

 zeichnet, kann die Wahl der Aussenseite der Oberfläche stets so getroffen 

 werden, dass der Inhalt ]wsitiv ist. Es sind nun diese Polyeder erster und 

 zweiter Klasse noch durch ein anderes charakteristisches Merkmal zu unter- 

 scheiden. Wir untersuchen die Änderung der Artzahl A eines Polyeders 

 bei Vertauschiing seiner Innen- und Aussenseite. An Stelle der Grössen 

 Za, ^u, :^x treten in der Formel von Hess für das neue Polyeder: 



2:a' = E{n — a) = 2:n — 2::a = 2K—i:a, 



iV ^^ :^(n — 7() = 2K—Ex, 

 und da K' = K bleibt, so wird : 



2A' ^ ^«'-F JlVt' — 2V — Ä' = 2K—(:^(i + :£a — Sx — K), 

 d. h. es ist: 



5) Ä' + A^ K, 



oder: Die Summe der beiden Artzahlen jedes Polyeders ist gleich 

 der Anzahl seiner Kanten. Für ein nichtkonvexes Polyeder erster 



1) Bezeichnet P irgend einen Punkt ausserhalb der Oberfläche eines Vielflaches und 

 Pf das Volumen einer Pyramide über der Grenzfläche f mit der Spitze P, so ist die 2JPf, 

 unabhängig von der Lage von P, der Inhalt des Vielflaches (Möbius a. a. 0. S. 494. V. u. V. 

 S. 70). Es ist aber :2Pf = 0, wenn jedes /' = ist. — 



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