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Klasse kann die „Färbung" der Oberfläche stets so gewählt werden, dass 

 ^< — wird. Für ein Nullpolyeder ist A=^A' = —, wenn bei Vertauschung 

 der Färbung jede Fläche und jede Ecke in sich selbst übergeht, also 

 a = (i\ X = yJ und auch « ^ «' ist/) Zu jeder ])ositiven Zelle besitzt ein 

 solches Polyeder eine, absolut genommen, gleiche Zelle negativen Vorzeichens, 

 die bei Vertauschung der Art des Polyeders nur ihre Vorzeichen wechseln. 



4. Die polare Reziprozität der Polyeder. Zu jedem Polyeder P 

 lässt sich mit Beziehung auf eine beliebig gewählte Kugel, die nur das 

 gesamte Polyeder P einschliesst, ein zweites Polyeder P' so konstruieren, 

 dass die Ebenen der Grenzflächen von P' die Polarebenen zu den Ecken 

 von P als Polen sind, die Ecken von P' die Pole zu den Grenzflächen von 

 P als Polarebenen, und umgekehrt. Die Anzahl der Kanten beider Polyeder 

 ist die gleiche; die Zahl der Flächen des einen ist gleich der Zahl der 

 Ecken des anderen und umgekehrt. Zwei solche Polyeder P und P' heissen 

 polarreziproke. Ist P' isomorph mit P, so heisst P (bez. P) autopolar. 

 Zwei polarreziproke Polyeder sind gleichzeitig zweiseitig oder einseitig. 

 Besitzt P eine umbeschriebene Kugel, so sind die Ebenen der Flächen von 

 P' die Tangentialebenen in den Ecken von P an diese Kugel und das 

 Polyeder P' besitzt sonach eine einbeschriebene Kugel. Polarreziproke 

 Polyeder sind gleichzeitig konvex oder nichtkonvex, kontinuierlich oder dis- 

 kontinuierlich. Die Artzahl A zweier polarreziproker Polyeder ist dieselbe, 

 d. h. ])olarreziproke nichtkonvexe Polyeder gehören gleichzeitig zur ersten 

 oder zweiten Klasse.^) 



§ 2. Über die Bestimmiiiig der gleiclieckig-gleiclifläcliigeu 



Polyeder höherer Art. 



1. Die gleicheckigen und die gleichflächigen Polyeder erster Art. 

 Die Bestimmung der gleichflächig -gleicheckigen Polyeder im 8inne der in 

 der Einleitung vorangestellten allgemeinsten Definition, die die diskontinuier- 



•) Es wird sich zeigen, dass fast alle gleiclieckig-gleichfiächigen Nullpolj'eder den 

 angeführten Bedingungen genügen. Das Weitere vergl. in Kap.ll § 3 Nr. .5 und Kap. IV § 4 Nr. 8. 

 2) Weiteres hierüber vergl. E. Hess a. a. 0. S. 15. 



