Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 21 



liehen konvexen und die nichtkonvexen Gebikle einschliesst , erfordert die 

 Voranstellung der Theorie der nur gleicheckigeu bezw. nur gleichüächigen 

 Polyeder erster Art, wie auch historisch das Problem der vollständigen 

 Aufzählung dieser Polyeder das ältere ist. Indem man auf verschiedenen 

 für diese Polyeder gültigen Sätzen fusste, gelangte man auf mehrerlei 

 Weise zu ihrer Auffindung. Hessel') geht zur Ableitung aller gleich- 

 eckigen Polyeder erster Art davon aas, dass sich deren sämtliche 

 Gestalten durch bestimmtes Abschneiden der Ecken und Kanten aus dem 

 regelmässigen n-seitigen Prisma, dem Oktaeder und Hexaeder, dem Ikosaeder 

 und Dodekaeder erhalten lassen. Es sind dann die Archimedeischen Polyeder 

 spezielle Fälle (Varietäten) dieser allgemeineren. Die Symmetrieebenen 

 und Achsen der gleicheckigen Polyeder sind sonach dieselben, wie die der 

 ursprünglichen Prismen und regulären Polyeder, sofern sie nur durch die 

 Konstruktion nicht verloren gegangen sind. Auf Grund der Voraussetzungen, 

 die über das Abschneiden der Ecken und Kanten zu tretten sind, erschliesst 

 man, dass jedes gleicheckige Polyeder eine umbeschriebene Kugel besitzt. 

 Es ist leicht ersichtlich, dass dieses Abschneiden selbst nichts anderes be- 

 deutet, als die Kombination mehrerer Polyeder desselben Achsensystems. — 

 Einen anderen Ausgangspunkt nimmt E. Hess, nachdem er sich in seinen 

 früheren Arbeiten zunächst wesentlich an Hessel angeschlossen hatte, in 

 seinem grundlegenden Werke.-) in dem er an die Spitze seiner Unter- 

 suchungen die Frage nach denjenigen Teilungen der Kugeloberfläche stellt, 

 wonach dieselbe mit einem Netze von gleichen und ähnlichen sphärischen 

 Polygonen, deren Kanten Teile von Hauptkreisbogen sind, lückenlos über- 

 deckt wird. Zu diesen gleichflächigen Netzen bestimmt er die zu- 

 geordneten oder speziell konjugierten gleicheckigen Netze, denen die 

 gleicheckigen Polyeder einbeschrieben, die gleichflächigen Polyeder um- 

 beschrieben sind. Mit der vollständigen Erledigung des Netzproblems ist 

 auch die Klassifikation aller gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder 

 erster Art geleistet, und es zeigt sich die vollständige Übereinstimmung mit 

 den Ergebnissen Hesseis. Der Satz über die um- bezw. eiubeschriebene 



1) Hessel, Übersicht der gleicheckigen Polyeder und Hinweisung auf die Beziehungen 

 dieser Körper zu den gleichflächigen Polyedern. Marburg 1871. 



-) E. Hess, Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung etc. Leipzig 1883. 



