uu Max Brückner, 



Kugel bildet also hier den Ausgangspunkt für die Konstruktion der beiden 

 Klassen von Polyedern, und deren polarreziproke Zuordnung ist ebenfolls 

 leicht zu erweisen/) Die Symmetrieachsen und Ebenen der Polyeder sind 

 identisch mit denen der Netze, die lediglich die des „Doppelpyramidentypus", 

 des „Hexakisoktaedertypus" und des „Dyakishexekontaedertypus" sind. — 

 Auch zur Auffindung der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder 

 höherer Art hat Hess durch Betrachtung der die Kugel mehrfach bedeckenden 

 Netze die Grundlagen geschatfen ; -) doch ist das allgemeine Problem z. Z. 

 noch unerledigt, da es bisher nur gelungen ist, die festen, aber nicht die 

 beweglichen Netze vollständig abzuleiten. Die Bestimmung der gleich- 

 eckigen oder gleichflächigen diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder 

 höherer Art ist also ebenfalls noch ein ungelöstes Problem. Doch beweist 

 Hess, dass auch jedes gleichflächige Polyeder höherer Art eine 

 einbeschriebene, jedes gleicheckige Polyeder höherer Art eine um- 

 beschriebene Kugel besitzt.^) — Die Zusammenstellung und Untersuchung 

 der gleicheckigen und der gleichflächigen Polyeder erster Art, soweit sie 

 für unsere Arbeit erforderlich ist, soll vor Betrachtung der Polyeder jedes 

 Typus seinen Ort finden. 



2. Allgemeine Sätze über die gleiciieckig-gleieliflächigen Polyeder 

 höherer Art und die Methoden ihrer Ableitung. Jedes Polyeder, das 

 zugleich gleicheckig und gleichflächig ist, nimmt an den Eigenschaften 

 beider Polyederklassen teil, besitzt also sowohl eine ein- wie umbeschriebene 

 Kugel. Das gilt also in erster Linie für dergl. Polyeder erster Art, zu 

 denen ausser den fünf regulären Polyedern nur das quadratische und 

 rhombische Sphenoid gehören, d. h. die Hemiedrien der geraden 

 quadratischen Säule und des reclitwinkligen Parallelepipeds. Der gleiche 

 Satz gilt aber auch füi- alle solche Polyeder höherer Art, d. h. deren 

 sämtliche Flächen berühren eine einbeschriebene Kugel und die sämtlichen 

 Ecken liegen auf einer umbeschriebenen Kugel, so dass die umbeschriebenen 

 Kreise der Grenzflächen kongruente (kleine) Kreise dieser letzteren Kugel 



1) Hess, a. a. 0., S. 251. 

 ''-) Kugelteilung. S. 434 ff. 

 3) a. a. 0. S. 435. 



