Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. äo 



sind. Die innersten Zellen der Grenzflächen sind die kongruenten bezw. 

 symmetrisch -gleichen Flächen der innersten räumlichen Zelle des gleich- 

 eckig-gleichflächigen Polyeders und begrenzen also ein gleich flächiges 

 Polyeder erster Art. Darausfolgt, dass für das polarreziproke Polyeder, 

 das ebenfalls gleicheckig und gleichflächig ist, die Ecken die eines gleich- 

 eckigen Polyeders erster Art sind, d. h. dass die äussersten Doppel- 

 ebenen der Ecken des Polyeders höherer Art ein der Kugel eingeschriebenes 

 gleicheckiges Polyeder der ersten Art begrenzen.') Sind P und P' zwei 

 polarreziproke gleicheckig-gleichflächige Polyeder höherer Art, so ist das 

 die innerste Zelle von P [von P'] bildende gleichflächige Polyeder — der 

 „Kern" von P [bezw. P] - — polarreziprok dem die Ecken von P' [von P] 

 bildenden gleicheckigen Polyeder, — der „Hülle" von P [bezw. Pj. Ist 

 P ein autopolares gleicheckig-gleichflächiges Polyeder, so sind Kern 

 und Hülle polarreziproke Polyeder; doch gilt der Satz nicht umgekehrt. 

 Zwei Polyeder P und I", die jedes polarrezijjroken Kern und Hülle besitzen, 

 brauchen, obgleich die Kerne und Hüllen beider dieselben (isomorphen) 

 Polyeder sind, nicht autopolar zu sein, sondern es ist eines das polar- 

 reziproke des anderen. Wir nennen solche Polyeder P und P' parapolar. — 

 Auf Grund der oben angeführten Sätze ergeben sich nun die folgenden 

 Konstruktionen, mittels deren die sämtlichen gleicheckig -gleichflächigen 

 Polyeder, auch die diskontinuierlichen und nichtkonvexen, gefunden werden 

 können, da die Sätze für diese ihre Gültigkeit behalten. Es sind Ver- 

 allgemeinerungen derjenigen Konstruktionen der regulären Polyeder höherer 

 Art, die wir Poinsot und Cauchy verdanken. Die erste Konstriiktions- 

 methode geht von den gleicheckigen Hüllen aus. Legt man nämlich durch 

 die Eckpunkte eines gleicheckigen Polyeders erster Art Diagonalebenen, 

 und betrachtet diejenigen Flächen, die, indem sie eine Kugel berühren, 

 ein gleichflächiges Polyeder erster Art bilden, so ergeben sich in diesen 

 Flächen die Grenzflächen von gleicheckig- gleichflächigen Polyedern höherer 

 Art, wenn in jeder Ecke der Hülle gleichviel solcher Flächen auftreten 

 und daselbst kongruente bezw. symmetrisch - gleiche geschlossene Ecken 

 (kontinuierliche oder diskontinuierliche) bilden. Dabei kann die Grenzfläche 

 selbst konvex oder nichtkonvex, kontinuierlich oder nicht sein. In den 



1) Beweis: Hess, Kugelteilung. S. 447. 



