Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 41 



.sich die Distanzen CiB,, C, C'2 u. s. w. jeweils durch den sinus-satz, und es 

 ist allgemein : 



180» 



C,Bi = h. 



sin (2 t — 3) 



1800 

 P 



A — (2? — 3) 



1800' 



C,Q = b. 



sin (2« — 2) 



P 



X — (2i — 2) 



180"" 

 P . 



2, 3, 4 . . 



SO lano-e (2/ — 3) bezw. (2(: — 2) - < ;i ist. Alsdann ergeben sich die 



Achsenpunkte auf l') in dem über i?, hinausliegenden Strahle dieser Geraden. 

 Es sind diese Achsenpunkte, von i?, ausgehend: C'j,^B'p^C',,_^^B'p_^ u. s. w., 

 und man findet den vorigen Betrachtungen analog aus den Dreiecken OB^C 

 bezw. OB,B' g-anz allgemein ausgedrückt: 



siu (2?+ 1) 



B,C'p^. = h.O 



I8O0 

 ~P 



Sin 



fi — (2i+l) 



180"' 



P . 



•--Bi^'p. 



sin (2«' + 2) 



1800 



■ b.O p 



sm 



/i-(2/ + 2) 



P 



180«" 



P . 



0,1,2,... 



SO lange wiederum die Nenner positiv sind. Für 0=1 ergibt sich die 

 reguläre 2p-seitige Doppelpyramide; es wird dann ). = n, die Achsen- 

 distanzen in beiden Strahlen der Geraden 1') werden bezw. gleich, denn es ist: 



C^Bi _= .ßiC"p_(._2); f\Ci --=^ BiB'p 



•(1-2)1 



«■ == 2. 3 . 



Für die Konstruktion sämtlicher Spuren in der f^bene der Fläche i) 

 gelten folgende Tatsachen. Wir unterscheiden dabei die Ebenen \, 2, ... 2p 

 und 1', 2' . . . 2p' in solche mit geradem und ungeradem Index (1, 3, 5 . . . 

 bezw. 2, 4, 6 . . .). 



a) Sämtliche Spuren 2) 3) ... 2^ der oberen Flächen gehen durch A. 

 li) Die Spuren der oberen Ebenen mit geradem Index gehen der Reihe 

 nach durch A und einen der Achsenpunkte B oder C; 2) durch C'i, 4) durch Ä, 

 6) durch C-i u. s. w. bis 2p — i) durch B'p^ 2p — 2) durch C"p, 2p durch B,. 

 Denn es schneiden sich i), i'), 2r) und 2v') in einem Punkte derjenigen 

 Symmetrieebene, für welche i) und 2v), l") und 2v') Spiegelbilder sind, d.h.' 

 in einem Achsenpuukte. y) Alle Spuren unterer Ebenen mit geradem Index 

 2r' gehen durch die gleichen Achsenpunkte wie 2r. 6) Parallele Ebenen 

 (die also parallele Spuren ergeben) sind 1) und p + 1'), 2) und p + 2'), 3) und 



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