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j) + 3' u. s. w. Da nun mit 2r auch ]^2t'' eine gerade Zahl ist, weil j) 

 gerade ist, so sind durch 6) und /) zunächst auch die Spuren sämtlicher 

 unteren Ebenen mit geradem Index bestimmt, e) Es sei nun 2v' irgend 

 eine untere Fläche von geradem Index und 2r, +"!' irgend eine untere 

 Fläche von ungeradem Index. Dann ist die letztere Fläche stets das 

 Spiegelbild der vorhergehenden gegen eine bestimmte Symmetrieebene E 

 durch die Hauptachse des Polyeders. Bestimmt man gegen dieselbe Ebene E 

 das Spiegelbild der Fläche 1), so ist dies stets eine obere Fläche von 

 geradem Index 2r.>, die für Konstruktionen bei bestimmtem j^ sofort an- 

 zugeben ist. Dann schneiden sich i) und 2rj, sowie 2*') und ¥i\ + l') je in einer 

 Geraden dieser Ebene E; der Schnittpunkt dieser Geraden liegt zugleich 

 in allen Ebenen, auch in l). Es schneiden sich also die Spuren der drei 

 Ebenen 2v'), 2r, + 1') und 2V2) in einem Punkte der Ebene i), d. h. die Spur 

 2vi + 1' geht in l) durch den bereits konstruierten Schnittpunkt von 2vy) und 

 2v'). Es lassen sich danach alle Spuren der unteren Ebenen mit un- 

 geradem Index bestimmen, da für jede solche Spur leicht mindestens zwei 

 solcher Schnittpunkte sich angeben lassen. C) Die noch fehlenden Spuren 

 der oberen Ebenen mit ungeradem Index ergeben sich durch Berück- 

 sichtigung von ß) und ö) nach Erledigung von s). Danach ist die Möglichkeit 

 der Zeichnung der vollständigen Figur erwiesen, die für bestimmte Werte 

 von i> überdies leicht auszuführen ist.^) 



§ 2. Die SplienoidgTuppierun^en des Doppelpyramidentypiis. 



1. Das quadratische und rhombische Sphenoid. Ehe wir die 

 diskontinuierlichen konvexen Polyeder des Doppelpyramidentypus untersuchen, 

 führen wir die beiden gieicheckig-gleichtlächigen Polyeder erster Art ein, 

 deren Kombinationen jene sämtlich sind, das quadratische und rhombische 

 Sphenoid. Ersteres ist die Hemiedrie des gleichtlächigen Oktaeders mit 

 zwei gleichen zu einander senkrechten Nebenachsen und einer von diesen 



•) Für die Zeichnung sei bemerkt, dass die Achsendistanzen nach Wahl eines nicht 

 zu kleinen Massstabes etwa bis anf Viertelmillimeter genau abzutragen sind. Zur Konstruktion 

 der Parallelen diene ein gut funktionierendes Parallelenlineal. Punkte, in denen sich mehrere 

 Spuren schneiden, gestatten dabei eine fortwährende Kontrolle der exakten Ausführung. 



