Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 45 



lia + ii—l)ß f(2A — /)« + (2A — « + 1),J jl, 4;i-fl, 2i', 4>l + 2i' 



\{i—l)a + iß \{2X — i+l)a + {2k — i)ß \l, 4A + 1, 4r— "2? + 2', SX— 2i + 2' 



bis: 



lXa-{-(?.— \)ß lXa + a+l)ß 

 {{2.— l)Z + Xß \(Z + l)a+Xß 



|1, 4;i + 1, 2X', <U' 



(1, 4;.+ l, 2l+^2', 6T+2' 



Alle diese Gruppierungen sind solche rhombischer Sphenoide') und 

 zwar sind stets 2X rechte und 2;. linke Sphenoide vorhanden. Denn neben 

 1, 4A + 1, 2i', ix + 2i haben wir stets das Sphenoid l', 4X+I' 2i, 4;i + 2j 

 desselben Parallelepipeds. Die Anzahl solcher Gruppierungen für ^j = 4A 

 ist 2A = ^. — Für jj = 8 ergeben sich z. B. vier Gruppierungen, wie aus 

 den Figuren 1, 2, 3, 4 Taf. 2 ersichtlich ist. Jedes der Rechtecke ist die 

 Deckfläche eines Parallelepipeds. dem zwei Sphenoide einbeschrieben sind. — 

 Für CO =: Iß + (i — V)ß bezw. (( — 1)« + /;:; gehören also stets zwei Sphenoide 

 zusammen, ein rechtes und ein linkes. Ist aber m = ia + iß, so haben wir 

 zunächst nur Gruppierungen von rechten oder linken Sphenoiden. Es sei: 



der Winkel o>: also m': dann ist das erste Sphenoid: oder: 



c( + ß i2k—l)(a+ß) I, -ik + l, 3' il-fS' 1, 4;i+l, 8A— 1', 4T— l' 



2a + 2ß (2X—2){a + ß) 1, 4A + 1, 5' 4T+^' 1, iX + l, 8/1 — 3', 4A — 3' 



ia + iß {2X—t)(a+ß) 1, 4A + 1, 2/ + l', 4;i + 2i + l' ], 4;i + 1, Sjl — 2i+ l', 4;. — 2/+ 1 ' 



{X — l)a + {l — l)ß {X+l)ia + ß) 1, 4;i4- 1, 2;i— 1', 6^^!' \, iX + \, ßX+'S', Yx + 3' 



Es sind dies X — 1 Gruppierungen von 42 rechten Sphenoiden und 

 X — 1 Gruppierungen von iX linken Sphenoiden, also ^ — 2 Gruppierungen. Für 

 j) =^8 (X = 2) ergeben sich z. B. zwei solcher sog. „gedrehter" Gruppierungen, 

 eine von acht rechten und eine von acht linken rhombischen Sphenoiden. 

 Fig. 5 Taf. 2 zeigt die acht oberen Kanten, zu denen diejenigen unteren 

 acht Kanten gehören, die man erhält, wenn man die Figur in dem einen 



') Dass sie fiir bestimmte Längen der Hauptachse des Hüllpolyeders in quadratische 

 übergehen, wird hier nicht berücksichtigt. 



