46 Max Brückner, 



oder anderen Sinne um den Winkel a + ß um den Mittelpunkt dreht. — 

 Die noch fehlende letzte Gruppe ?.a + Xß, deren erstes Sphenoid i, 4^ + 1, 

 2r+l', eX+T' ist, ist eine Kombination von 2.2;i quadratischen Sphenoiden, 

 die aber gleichsam zu den Gruppierungen ia + {i — l)ß gehört, denn es sind 

 je zwei Sphenoide in einer quadratischen Säule erhalten. Vergl. Fig. 6 

 Taf. 2 für iJ = 8, X = 2. Endlich ist nun noch zu beachten, dass die je 

 zwei Gruppierungen von linken und rechten Sphenoiden für ia + iß sich zu 

 einer Gruppierung von 81 Sphenoiden zusammenfassen lassen. In jeder 

 Ecke des Hüllpolyeders fallen dann zwei Ecken zweier Sphenoide zusammen, 

 und je zwei Flächen zweier S])henoide liegen in einer Ebene. Dieses Vor- 

 kommnis tritt zum ersten Male auf, wenn ;- = 2, d.h. p = 8 ist, denn für 

 ;. = 1 ergeben sich ersichtlich für gleiche Koeffizienten von « und ß nur 

 quadratische Sphenoide. Wir haben also für 2> = ^^ das Resultat: Es gibt 

 ^ Gruppierungen von je ^) rhombischen Sphenoiden, |- rechten und ^ linken, 

 ferner 2(^ — ij Gruppierungen von p dergl. Sphenoiden, von denen gleich- 



viel nur rechte oder nur linke Sphenoide enthalten und endlich j — i Grup- 

 pierungen von je 2j) Sphenoiden, bei deneji je zwei Sphenoide eine Ecke 

 des Hüllpolyeders gemeinsam haben und je zwei Flächen in einer Ebene 

 des Kernpolyeders liegen, also in Summa im 2 . 2j3-Eck j p — ^ Gruppierungen 

 rhombischer Sphenoide; dazu kommt nur eine Gruppe quadratischer Sphenoide. 

 Als Beis])iel geben wir später wegen weiterer Verwendung den Fall 2^ = 4. 



Es seien nun die Sphenoide für den Fall zu untersuchen, dass j^==4A— 2 

 ist, also die Ecken des Hüllpolyeders die folgenden sind: 



... 4=X—3 4X — 2 iX—l iX 4:X + 1 



3'..; iX—S' 4:X — 2' iX—l' iX' 4A + l' 



jr 



Der Bogen zwischen den Pocken 1 und iX — i ist jr; die um — von i 

 abstehenden Punkte sind keine Ecken. Wir untersuchen wieder zunächst 

 die Fälle, in denen je ein rechtes und ein linkes Sphenoid einem Parallel- 

 epiped eingeschrieben sind, d. h. der kleinere Bogen von der Form la-\-(i — \)ß 

 oder {i—\)a-\-iß ist. Eis ergibt sich das folgende Schema (da jetzt 

 {2X—\){u^ß) = ji ist), so lange / < >l bleibt: 



