48 Max Brückner, 



Ebene des Kernes liegen. Ist also j> = 4;. — 2, so existieren im ganzen 

 5;._4 oder '^^-7~ — i Grnippierungen rhombischer Sphenoide ; stets quadra- 

 tische Sphenoide gibt es hier nicht. — Wir betrachten nun zunächst die 

 hemigonischen Hüllpolyeder und die dann noch zulässigen Gruppierungen 

 von 8i)henoiden. 



3. Die Sphenoidgruppieriingen , deren Hüllen hemigonische 

 Polyeder des 2.2^>-Ecks sind. Wir unter.suchen die Hemigonien zunächst 

 für den Fall, dass für das vollzählige Polyeder jj = 4/. ist. Dabei sei die 

 Hälftezahl der Ecken stets so gewählt, dass die Ecke l) mit erhalten bleibt. 

 Für die plagiedrische Hemigonie sind dann die noch vorhandenen 

 Ecken: . .. 8/— l, 8/', l, 2', 3, 4', 5 2/— l, 2/', 2/ + 1, 2/ + 2', .. .4/— 1, 



4/', 4/ + 1, ... 6/ — 1, 6/', 6;. + 1, ... 8/— 1, 8/', 1 . . . Aus dieser Angabe er- 

 sieht man sofort, dass die Gruppierungen rhombischer Sphenoide, für die 

 co = ia + iti war, im hemigoni.schen Polyeder nicht möglich sind, da die 

 vier Eckenzahlen i, 4/ -f i, 2r-h l', IT+sT+T' des ersten Sphenoids sämtlich 

 ungerade sein müssten. Es ergibt sich also auch keine plagiedrische Hemi- 

 gonie quadratischer Sphenoide. Die Sphenoidgruppierungen des vollzähligen 

 Polyeders, für die m^ ia + {i—i)ß oder (( — i)a + /,i ist, ergeben dagegen 

 sämtlich i)lagiedrische Hemigonien, und zwar an Zahl deren ebensoviel als 

 es vollzählige Gruppierungen gibt. Denn es sind die beiden Sphenoide 

 1, 4/4- 1, 2i', 4/ + 2i' und 1, 4/ + 1, 4/ — 2i + 2', 8/ — 2 ( + 2' vorhanden, natür- 

 lich immer nur das eine oder andere der beiden Sphenoide, die demselben 

 (2 -1- 2 -f- 2)-tlächigen 2 . 4-Eck eingeschrieben sind, so dass diese Gruppierungen 

 das Aussehen von „gedrehten" Sphenoiden erhalten. Für die erste rhombo- 

 edrische Hemigonie sind die noch vorhandenen Ecken: ... SA, l, 2', 3', 4, 5, 

 6', 7', . . . 4e, -ii + 1, 42-1- 2', 4T+3', ... Es la.ssen also die Zahlen der unten 

 verbleibenden Ecken bei Division durch 4 die Reste 2 oder 3. Für die 

 Gruppierungen im vollzähligen Polyeder, für welche 



OJ 



und das erste Sphenoul . — — -~ — ^, ;— — — ^ — - 



lO— l)a + //:( ^ [l, 4/+ 1, 4;. — 2t-f-2 8/ — 2?. + 2' 



ist, sind nun zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem i gerade oder ungerade 

 Ist Ist i — 2fi-[-\, so ist 2j' = 4(U + 2' und 4X+ 2«' = 4;. -i- 4^ -f- 2'; d.h. 



