Die gleicheokig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 49 



beide Zahlen lassen bei Division durch 4 den Rest 2; das erste der beiden 

 angeschriebenen Sphenoide ist also möglich; dagegen fällt das zweite 

 Sphenoid fort, denn es ist 42 — 2« + 2' = 42 — 4,«' durch 4 ohne Rest teilbar. 

 Ist e = 2/2, so ist 2/' = 4,«', d. h. das erste der beiden Sphenoide ist unmöglich; 

 dagegen ist 4?. — 2i + 2' = JT^^^^^f^' und sT— 2« + 2' = 82 — 4;u+"2', d.h. 

 das zweite Sphenoid ist vorhanden. Wir haben also soweit 2 rhomboedrisch- 

 hemigonische Gruppierungen. Was nun die Gruppierungen für 03 = ia + iß 

 anbetrifft, so untersclieiden wir zunächst ; < 2 von / = 2, d.h. die rhom- 

 bischen Sphenoide von den quadratischen. Es sei vorerst i<L Ist 

 i^=2(t, so ist das erste Sphenoid i, 42 + t, ifi + l', 42 + 4/< + f oder 

 1, 42 + 1, 82 — 4/^ + 1', 42 — 4//+T', d. h. beide sind unmöglich; ist dagegen 

 i = 2fi+l, so ist das erste Sphenoid: l, 42 + 1, 4fi + 3', 4T+^4// + 3' oder 

 1, 42+1, 82 — 47/^^1', 4T— 4// — l'; diese beiden Sphenoide sind möglich, 

 denn die Zahlen lassen sämtlich bei Division durch 4 den Rest 3. Wir 

 haben also für ungerades i zwei Gruppierungen von je ^ gedrehten Sphenoiden, 

 demnach existiert auch eine Gruppierung von |) rhombischen Sphenoiden, 

 ^ rechten und ^ linken, bei denen je zwei Ecken in einen Punkt, je zwei 

 Flächen in eine Ebene fallen und deren Ecken die eines unterbrochen kron- 

 randigen [2 + 2 .|j-flächigen 2. 2. | -Ecks sind. Zum ersten Male treten 

 diese Gruppierungen auf, wenn für das vollzählige Polyeder i^ = 8, d. h. 

 2 = 2, also i = i, // = ist. Die Sphenoide der vollzähligen Grup- 

 pierungen sind: 



1, 9, 3', 11' j 5, 13, 7', 15' 1, 9, 15', 7' 5, 13, .3', 11' 



2, 10, 4', 12' I 6, 14, 8', 16' 2, 10, 16', 8' 6, 14, 4', 12' 



3, 11, 5', 13' j 7, 15, 9', 1' ""'^ 3, 11, 1', 9' 7, 15, 5', 13' 



4, 12, 6', 14' I 8, 16, 10', 2' 4, 12, 2', 10' 8, 16, 6', 14' 



Es sind dann die beiden hemigonischen Gruppierungen die der 

 Sphenoide : 



1, 9, 3', 11' 

 4, 12, 6', 14' 



5, 13, 7', 15' 1, 9, 15', T I 5, 1.3, 3', 11' 



8, 16, 10', 2' '^"^ 4, 12, 2', 10' | 8, 16, 6', 14' 



Dazu kommt das Polyeder, das durch die Vereinigung dieser beiden 

 Gruppierungen entsteht. — Nun ist der Fall i = A zu untersuchen. Für 

 gerades 2 ist eine erste rhomboedrische Hemigonie wieder unmöglich. Ist 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 



