50 Max Brückner, 



(lag-egen /. = 2// + l, so ist das erste Spheuoid i, 8,« + 5, 1/7+3', 12^7+7', wie 

 die Zahlen anzeigen, möglich, d. h. es existiert eine rhomboedrisch-hemi- 

 gonische Kombination qnadratischer Spheuoide, wenn / eine ungerade Zahl, 

 d. h. p von der Form 8^ + 4 ist. (Dieser Fall tritt zum ersten Male für 

 // = 0, i» = 4 ein.) 



Wir untersuchen nun die zweite rhomboedrische Hemigonie. Die 



noch vorhandenen Ecken sind jetzt: 8/ — l', 8/', l, 2, 3', 4', 4i — l', 4/', 



4^-1-1, 4/ + 2, 4:T+li', 4rr-M' , d. h. die unteren verbleibenden Ecken 



des vollzähligen Polyeders lassen bei Division durch 4 den Rest oder 3. 

 Wir beginnen wieder mit Betrachtung der Gruppierungen, für die m = ia + ii—l)ß 

 oder CO = (i—l)a + iß ist, wobei die beiden Sphenoide i, 4/ + 1, 2^' 4). + 2i' 

 und 1, 4/ + 1, iX—2i + 2', 8?.—2i + 2' sind. lsti = 2fi-\- 1, so ist 2i' = 4// + 2', 

 4X + 2t = 4t?. + 4/1 + 2'. d. h. beide lassen bei Division durch 4 den Rest 2, 

 also ist die Gruppierung" unmöglich. Dagegen ist 42. — 2i + 2' = 4/ — 4^« — l', 

 lässt also bei Division durch 4 den Rest 3, und 8?.—2i + 2' = öl^^ft', 

 d. h. das Sphenoid ist möglich. — Ist dagegen / = 2,«, so ist für das 

 erste Sphenoid 2i' = 4//', il+Yi' = 41+^'. d. h. es ist vorhanden, während 

 hier das zweite Sphenoid nicht existiert, denn Ip^Zir^i-f^' = 4;. — 4/* -f- 2' 

 ergibt bei Division durch 4 den Rest 2. — Für den Fall m = ia + iß und 

 i < 1 ergab das vollzählige Polyeder zunächst gedrehte rhombische Sphenoide, 

 deren erstes i, 4/ + 1, 2T+I', JI+TT+T' oder 1, 4/ + 1, 8/ — 2i + l', 4;.— 2z + l' 

 war. Ist nun i = 2// + l, so sind die beiden Sphenoide 1, 4/ + 1, 4^7+ 3', 

 iTTvTs' und 1, 4/ + 1, 8;. — 4// — 1', 4;. — 4// — 1', d. h. beide sind 

 möglich. Ist dagegen i = 2fi, so sind beide Sphenoide nicht vorhanden. 

 Für den Fall quadratischer Sphenoide, d. h. / = / ergibt sich das erste 

 Sphenoid mit der Bezeichnung 1, 4/ + 1, 2T+I', 6;. + l'; ist / gerade, so ist eine 

 zweite rhomboedrische Hemigonie unmöglich. Ist aber ;. = 2// + 1, so kommt 

 das Sphenoid 1, S/j + 5, 4/7+3', 12// + 7', welches existiert. Wir haben also 

 zwei rhomboedrisch-hemigonische Gruppierungen quadratischer Sphenoide, 

 wenn / eine ungerade Zahl, d. h. p von der Form 8// + 4 ist (// = 0, 1, 2 . . .); da- 

 gegen existieren nie plagiedrisch-hemigonische Gruppierungen quadratischer 

 Sphenoide. 



Weit geringer an Zahl sind die hemigonischen Gruppierungen, die 

 sich aus dem vollzähligen Polyeder ergeben, wenn 2? = 4/ — 2 ist. Unter- 



