Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 51 



suchen wir zuvörderst die plag-iedrische Hemigonie. Die verbleibenden 



Pocken sind: i, 2', 3, 4', 4/ — 1, 4;.', 4>l + 1, 4;. — 2', Für a?= /« + (/— l)ß 



und ('/— l)« + «/J sind die beiden ersten Sphenoide l, 4/ — l, 2«', 4;i + 2i — 2' 

 und 1, 4/ — 1, 4l^—2i', sI^^^^^T^'. Diese bleiben erhalten, d. h. für p = 4:). — 2 

 gibt es soviel plagiedrische Hemigonien rhombischer Sphenoide, als es voll- 

 zählige Anordnungen gibt, also 2/— l oder f Anordnimgen von je^ Sphenoiden. 

 Es bleibt stets das eine der beiden Sphenoide erhalten, das den (2 + 2 + 2)- 

 iiachen eingeschrieben ist, da man die I*2cke i) beibeliält; lässt man aber 

 die Ecken 2, 4, 6, . . . und l', 3', 5', . . . bestehen, so erhält man natürlich die 

 andere Gruppierung, die stets den Eindruck gedrehter Sphenoide machen. — 

 Für CO = ia4- iß ergeben sich keine plagiedrischen Hemigonien, weil sowohl 

 27+1' als auch 4/ +"2? — l' stets ungerade sind. Für die beiden rhombo- 

 edrischen Hemigonien sind die verbleibenden Ecken von der Form l, 2', 3', ... 



4//, 4,M + 1, 4// + 2', 4^+3' ... bezw. 1, 2, 3', 4', . . . 4jU+l, 4/^ + 2, iJi + S', 



4^+^'. ... Nun ist aber die obere Ecke 4/ — l des ersten Sphenoids von 

 der Form 4// + 3, also ist überhaupt keine rhomboedrische Hemigonie möglich. 



4. Beispiel: Die Sphenoidgruppierungen im (2 + 4 + 4) - flächigen 

 2. 2. 4 -Eck und seinen Hemigonien. Nach den allgemeinen Betrachtungen 

 ergeben sich im vollzähligen 2. 2. 4 -Eck zwei Gruppierungen von je vier 

 im allgemeinen rhombischen Sphenoiden, wenn co = a tmd m = ß und eine 

 Gruppierung von vier stets quadratischen Sphenoiden , wenn m = a + ß ist, 

 die hier einzeln angeführt werden sollen, da solche vollzählige Gruppierungen 

 diskontinuierliche Polyeder des Hexakisoktaedertypus konstituieren. Die 

 Einzelpolyeder sind: 



a) 



1, 5, 2', 6'. 



1', 5', 2, 6. 



3, 7, 4', 8'. 



3', 7', 4, 8. 



ß) 



1, 5, 4', 8'. 

 1', 5', 4, 8. 



2, 6, 3', 7'. 



3, 7, 2', 6'. 



a+ß) 



1, 5, 3', T. 



3, 7, 1', b: 



2, 6, 4', 8'. 



4, 8, 2', 6'. 



In der vollständigen Figur des 2.2. 4- Flaches (Fig. 13 Taf. 2) sind die 

 in der Ebene 1) des gleichtlächigeu Kernes liegenden Grenzflächen des ersten 

 Sphenoids jeder Gruppe die durch die Spuren 5, 2', 6'; .5, 4', 8'; 5, 3', 7' ge- 

 bildeten Dreiecke und in den Figuren 18 Taf. 2 und 20 Taf. 1 sind die 

 Grenzflächen jedes der rhombischen Sphenoide nochmals gezeichnet. Die 



