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Dazu kommt aber noch die ^ + ij-te Gruppierung quadratischer Sphenoide: 



2 + lj 1, 2/ + 1, ;.+ !', 3/+1'. 



Ist l ungerade, so fällt die letzte Anordnung in den Quadranten, ergibt also 

 das quadratische Sphenoid: 



x + l 



1, 2/ + 1, ;. + 1, 3/ + 1 . 



Ks sei dies au einigen Beispielen erläutert. Für w = 8 (/ = 2) ergibt sich 

 die Gruppierung von vier rhombischen Sphenoiden. deren erstes i, 5, 2', 6' 

 ist und die Gruppierung von vier quadratischen Sphenoiden. dessen erstes 

 die Ecken i, 5, 3', 7' besitzt. Diese beiden Kombinationen zeigen die Figuren 17 

 und 11 Tafel 21. Die in der vollständigen Figur der regulären 8-seitige.n 

 Doppelpyramide enthaltenen . Grenzflächen finden sich Fig. 12 u. 14 Taf. 2 

 dargestellt. Für n= 12, (/ = 3) und « = 16, (/. = 4) sind in den Figuren 7, 

 8, 9, 10, 11 Taf. 2 die Anordnungen der Deckflächen der je ;. 2. 4 -Ecke 

 gezeichnet, denen jeweils zwei der Sphenoide, ein rechtes und ein linkes, 

 wie bei allen diesen Gruppierungen eingeschrieben ist. Es ergeben sich 

 für n = 12 eine Gruppierung rhombischer und eine quadratischer Sphenoide, 

 deren erstes i, 7, 2', 8' bezw. l, 7, 4', 10' ist; für n = 16 erhält man zwei 

 Gruppierungen rhombischer Sphenoide mit den ersten Einzelkörpern l, 9, 2', 10' 

 bezw. 1, 9, 4', 12', und eine Gruppierung quadratischer Sphenoide, deren erstes 

 1, 9, 5', 13' ist. Auch diese Beispiele bestätigen das allgemeine Ergebnis: 

 Ist M = 4;. = 4.2(«. so existiert neben ,« Gruppierungen rhombischer eine 

 Gruppierung quadratischer Sphenoide; ist w = 4;. = 4(2,« — 1), so ist die 



Anzahl der Kombinationen rhombischer Sphenoide ,« — i oder ^— , die der 



quadratischen wiederum gleich 1. Die Anzahl der Sphenoide in einer Grup- 



pieruQg ist stets 2/ = -. AVir untersuchen nun die Gruppierungen gedrehter 



Sphenoide, d. h. nur linker oder nur rechter, von denen wir je das erste in 

 folgender Übersicht anschreiben: 



