56 Max Brückner, 



« = 4;. = 4.2// an Zahl// — i, d.h. ^ — l vorhanden; für /; = 4/ = 4(2//— l) 

 ebenso ,m— i, d. h. "' „ . Die Grnppierungen mit den Winkeln «, 3«, 5«, ... 

 (2/^ — 1)« für n — 8/i und «, .3«, .5« . . . (2// — 3)« für » = 4(2// — 1) ergeben 

 sich aus den allgemeinen Gruppierungen /« + iß für j3 = und ungerades *, 

 Avährend man für gerades i wieder die vorigen Gruppierungen erhält. Wir 

 erläutern das an den folgenden Beispielen, indem wir nur die eine Art ge- 

 drehter Sphenoide, z. B. die linken berücksichtigen. Für das {2-\-p+p)- 

 flächige 2.2p-Eck sei zunächst 2p = 8;.= 16. Hier gab es ^ — 1 ^ ;. — i, 

 d. h. eine Gruppierung gedrehter Sphenoide, also gibt es, für ß = o, nur 

 eine Gruppierung gedrehter rhombischer Sphenoide im 8-seitigen regulären 

 Prisma. Ist 2^j = 8;. = 24, so hat man ;. — 1 = 2 Gruppierungen gedrehter 

 Sphenoide u. s. w. Allgemein gilt: Die Anzahl der Anordnungen gedrehter 

 rhombischer Sphenoide einer Art im »-seitigen regulären Prisma ist gleich 

 der Zahl der Anordnungen gedrehter Sphenoide im 2^; i^: 2«-seitigen all- 

 gemeinen Prisma für ß = o, d. li. - — l ; davon sind für «= s;. - — l, für 

 « = 4(2;. — 1) ~^— auch aus dem 2^? = «-seitigen allgemeinen Prisma für 

 ß =i « herzuleiten. 



Es sei nun der zweite Fall des (2 + «)-flächigen 2 «-Ecks zu unter- 

 suchen, für den n = 2 (2X + 1) ist. Hier kann es nur Anordnungen gedrehter, 

 linker oder rechter, Sphenoide geben. Die Ecken des Hüllpolyeders sind 

 die folgenden: 



'fe>^ 



4/ + 2 1 2 3 22+1 2;. + 2 2/ + 3 



X X 



4;. + 2' 1' 2' 3' 2;. + 1' 2X + 2' 2;. + 3' 



In die Quadranten fallen keine Pocken, also sind quadratische Sphenoide 

 unmöglich. Die Gruppierungen rhombischer Sphenoide sind: 



1. Gruppierung) 1, 2;. + 2, 2', 2lT3' und 1, 22 + 2, 42 + 2', 22 +l' 



2. Gruppierung) 1, 22 + 2, 3', 2T+4' und l, 22 + 2, 427+1', 22'. 



(. Gruppierung) 1, 22 + 2, i + l', 2X + i+2' und 1, 22 + 2, 42 — i-Ts', 2J~^^l+2' 

 2. Gruppierung) 1, 22 + 2, 2^1', 3T+'2' und 1, 22 + 2, 32+"^', 2 + 2'. 



