Die gleicheckig-gleicbflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 59 



vorhandenen Ecken für die Hemigonie: l, 2', 3', 4, 5, 6', 7', 8. Es existiert 

 also die Kombination der beiden rhombischen Sphenoide i, 5, 2', fi' und 4, 8, 3', 7', 

 und die Kombination der beiden ([uadratischen Sphenoide l, 5, 3', 7' und 

 4, 8, 2', 6'. Betrachten wir nun die sog. zweite rhomboedrische Hemigonie. 



Die verbleibenden Ecken sind jetzt: i, 2, 3', 4', 5, 6 4;« — 1', 4,«', 4fi + 1, 



4,w + 2, . . . Soll die Ecke 2;. + 1 vorhanden sein, so muss also / wieder eine 

 gerade Zahl sein. Jetzt lassen aber die gestrichelten Indices bei Division 

 durch 4 die Reste oder 3. Betrachten wir die vorher angegebene Tabelle 

 der Sphenoide, so ergibt sich sofort, dass nur die 2. 4. . . . Anoi-dnung möglich 

 ist, d. h. die ?-te Anordnung existiert nur, wenn i eine gerade Zahl ist. 

 Ist also in j/ = iA = SjU // eine gerade Zahl, so existieren die rhomboedrisch- 

 heraigonischen Gruppierungen 2) 4) 6) . . . ,«), d. h. ^ Anordnungen rhombischer 

 Sphenoide und keine quadratischen. Ist aber /j eine ungerade Zahl, so gibt 

 es die rhomboedrisch-hemigonischen Gruppierungen 2) 4) 6) ...// + 1, d. h. 

 — -,- Gruppierungen rhombischer Sphenoide und eine Anordnung quadratischer 

 Sphenoide. — Fassen wir die beiden rhomboedrischen Hemigonien zu- 

 sammen, so ergibt sich das Schlussrcsultat : Sei in /; = 42 = 8// fi gerade 

 oder ungerade, so gibt es /< bezw. // + 1 rhomboedrische Hemigonien rhom- 

 bischer Sphenoide des «-seitigen regulären Prismas, zwei rhomboedrische 

 Hemigonien quadratischer Sphenoide aber nur, wenn // ungerade ist. — Es 

 ist leicht zu zeigen, wie sich diese Gruppierungen aus den Hemigonien des 

 allgemeinsten Polyeders des Typus ableiten lassen. Dabei ist zu bemerken, 

 dass je zwei Gruppierungen kongruent sind, wenn man nur die J.-achse 

 mit der J.'-achse vertauscht. — Rhomboedrische Hemigonien gedrehter 

 Sphenoide gibt es aus leicht ersichtliclien Gründen nicht. — Ist nun endlich 

 für das reguläre Prisma » = 2 (22 + 1), so ist jede plagiedrische Hemigonie 

 unmöglich, weil die Ecke 2 2-1-2 wegfallen würde, und ebensowenig gibt es 

 rhomboedrische Hemigonien. 



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7. Über die Gruppierungen sekundärer quadratischer Sphenoide. 

 Es war bereits in Nr. 1 dieses § gezeigt worden, dass jedes rhombische 

 Sphenoid auf zweierlei Weise durch bestimmte Wahl der Länge der Haupt- 

 achse des 2. 4- Ecks, dessen Hemigonie es ist, in ein quadratisches Sphenoid 

 übergeführt werden kann. Die Bedingungen für das Auftreten solcher 



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