60 Max Brückner, 



„sekundärer" quadratischer Spheuoide in den vollzähligen und hemi- 

 gonischen Polyedern des Typus wären anzugeben, doch wollen wir uns 

 auf die Untersuchung des regulären Prismas, für welches ;* = 4/ ist, be- 

 schränken. Der Radius des Umkreises der Decktläche sei p, die Höhe des 

 Prismas sei h. Das erste Sphenoid der i-ten Gruppierung hat die Ecken 

 1, 2;. + i. 2i', 2 2 + 2i', also ist seine Deckkante i, 2;H-T = 2?. Die anderen 

 Kanten seien i7~2t' = h und 2V', 2/ + 1 = f^'t^ überdies ist 2ir2i' = h. Nun 

 ist der zur Kante TT^ des Prismas gehörende Zentriwinkel -t, also der zur 

 Kante i^ii gehörende Zentriwinkel (2t — i)^- Demnach ist der Peripherie- 

 winkel 1, 2/ -1-1, 2/ gleich (2i — 1) r- Kr sei mit ^r, bezeichnet. Dann 

 sind die beiden Sehnen: 



1, 2i = 2Q.smtCi und 2i, 2/-|-l = 2q -cos iCj. 



Da nun /.-,- = i^i^ + ]r- = 4p2 sinü iVi + li*- 



A-? = 2», 2'/.+^^ + li^ = 4p2 cos2 u-i + li^ und l, 2T+1^ = 4?- ist, 

 so ergeben sich quadratische Sphenoide, wenn 



4()- sin2 tCi -}- 7*2 = 4()2| | /t = 2() cos «f,- 



und 4()- cos^M-, + Ä2 = 4p2| |x,nd h = 2q siu n-, ist; d. h.: 



Ist die Hauptachse des w-seitigen Prismas 



2 i \ 9 ^* 1 



]t = 2p cos — T-T- Jt oder h = 2q sin ^^^ — r— Jr, 

 4/ *^ 4/ 



so geht die «-te Gruppierung rhombischer Sphenoide (der ersten 

 Klasse) in eine Gruppierung quadratischer Sphenoide über. 



Ist für ungerades ;. ( = ^-^— , so werden die beiden Werte von h 

 gleich, nämlich q\/'^. In diesem Falle wird das Sphenoid, da es an und 

 für sich schon quadratisch war, zum Tetraeder. Für gerades / wird die 

 ^ -I- ij-te Anordnung für denselben Wert von li zur Gruppierung von Tetraedern, 

 d. h. es gibt Gruppierungen von 4, 6, 8, 10 . . . Tetraedern, deren Hüllen 



vollzählige m = 8, 12, 16 seitige Prismen sind. — Für die gedrehten 



Sphenoide ist tVi = -A. -. = - -, also 7* = 2p cos ^ und li = 2p sin ^, d.h. 



^ 2 4/ 4/ ^ 4/ 4/.' 



für i = 1, 2, 3 . . . / — 1 ergeben sich je zwei Gruppierungen links und 



rechts gedrehter quadratischer Sphenoide. — Analoge Betrachtungen gelten 



