Die gleicheckig-gleiehflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen l'olyeder. bo 



als die beiden mittleren, wir haben also bei zweien die Ergänzun«;,' zu 2jr 

 zu nehmen, so dass die Ecke auch zAvei überstumpfe Kantenwinkel besitzt. 

 Sie ist also die P]cke vierter Art Fig-. 16 Taf. 1. Von genau der gleichen 

 Beschaffenheit sind, wie leiclit ersichtlich, die Ecken jedes Stephanoides St,i 

 bei beliebigem ». Was die Art Ä eines St„ anbetrifft, so finden wir folgendes. 

 Die Art jeder der 2n Grenztlächen ist « = 2; für jede der 2// Ecken ist 

 « = 4. Die Zahl der überstumpfen Kanten winkel ist 2.2/<, die Zahl der 

 Kanten 4;/, als ist 2A == 2« . 2 + 2;; . 4 — 4» — 4/;, d.h. A = 211. Bei Um- 

 kehrung der Färbung des Polyeders wird «' = 2, «' = 4, 2:x' = 4/^ also ist 

 auch A' = 2n, d. h. A' = K — A, was nach den allgemeinen Erläuterungen 

 die charakteristische Bedingung für ein Nullpolyeder ist. Ehe wir auf die 

 weitere spezielle Untersuchung der St„ eingehen, definieren und besprechen 

 wir die zweite Ordnung der Stephanoide, die St'p. 



Es sei vorgelegt ein kronrandiges (2 + 22J)-rtächiges 2p-Eck, dessen 

 Deckflächen reguläre p-ecke, dessen Seitenflächen 2.iJ gleichschenklige 

 Dreiecke sind. Wir bezeichnen die Ecken der oberen Deckfläche mit 

 1, 3, 5, . . . . 2j) — 1, die der unteren mit 2', 4', 6' ... . 2^)' und zwar in der. 

 Reibenfolge, dass die Seitenflächen 1, 2', 3; 2', 3, 4'; 3, 4', 0; .... 2^) — 1, 2^/, i; 

 2p', 1, 2 sind. Nun markieren wir in der unteren Deckfläche die Punkte 

 2t' und 2»'i', in der oberen die Punkte 2/— 1 — 2// und 2/, + 1 + 2,«, wo /t 

 irgend eine ganze positive Zahl, einschliesslich der Null ist; nur seien die 

 /, /, und ,M so gewählt, dass 2/— 1 — 2fi>l ist, und 2^^ — [(2/, + 1 + 2//) 

 — (2* — 1 — 2,«)] > 2/|' — 2i' bleibt. Dann ist das überschlagene Viereck 

 zweiter Art 2i — 1 — 2,«, 2/1', 2/i + i + 2,w, 2/' die Fläche eines solchen 

 Stephanoides St'p zweiter Ordnung, deren es 22) besitzt. Der einfachste 

 Fall ergibt sich, wenn / = 1, /< ^ 0, <,' = /'+ 1 ist. Dann lautet die Fläche 

 1, 4', 5, 2', und zwei ihrer Kanten, nämlich 1, 2' und 5, 4' fallen mit Kanten 

 des Hüllpolyeders zusammen. Dieser Fall tritt übrigens zum erstenmal für 

 p = 4 auf. Bemerkungen über die Ecken und die Art eines St'p erledigen 

 sich bei Berücksichtigung der folgenden weiteren Untersuchung. Die Fläche 

 eines solchen Stephanoides St',, ist zugleicli die Fläche eines gewissen 

 Stephanoides erster Ordnung, d. h. das St'p ist ein Teil])olyeder eines dis- 

 kontinuierlichen Sf„, wie sich sofort ergibt, weiui auf den unbeschriebenen 

 Kreisen der beiden Deckfiächen des kronrandigen (2 -H 2j))-fiäcliigen 2iJ-Ecks 



