Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. bo 



die grössere bleibt, p_(I-fi)>I sein, d. li. J<^~ . Es ist also das 

 Maximum von /: 



2 

 Es sind nun allgemein solche Werte von fi zulässig, für die j? — (/ + l 



+ 2[i)>/. ist, d. h. es muss // < ^^~~~r sein. Das zu einem gegebenen 



Werte von / mögliche Maximum von ^ ist also: 



p — (2;. + i) 



Da nun zu ;. nur n = 0, zu jedem folgenden um 1 kleineren /. eine um 1 

 grössere Anzahl der n gehört, zu / = l aber die Werte // = 0, 1,2...^^ > 

 so ist die Anzahl aller möglichen Stephanoide St'p bei ungeradem i^ gleich 

 der Summe i + 2 + 3 + .. .+-^"7^, d.h. gleich A^"~^L(-^r^l. 



Beispiel: Für j; = 7 ergibt sich 1 = 2. Es existieren also die 

 möglichen Werte: / = 1, // = und i: / = 2, // = o und die drei vor- 

 handenen SV- sind: Üi'-^Q, St'-,C,), Si'-; (:;). 



Nicht alle diese St'p brauchen aber kontinuierliche Polyeder zu sein. 



Es gilt vielmehr der Satz: Haben in St'^ [~^^/' '") die Zahlen p, l 



und ;.-fi-)-2,M einen gemeinsamen Faktor o, so ist das Stephanoid eine 



f/ -f- H- m 



Gruppierung von er Stephanoiden St\ 



ö 



; dabei ist o stets eine un- 



gerade Zahl, da j) ungerade ist. Ist aber p eine Primzahl, so sind alle St'p 

 kontinuierlich. 



Es sei z. B. p -■= 15, / = .3, // = i. Dann ist Si\:-,Q -: 3 . Ä^'^ (;). 



Es sei nun zweitens j) eine gerade Zahl (p > 4). Wir bestimmen 

 zunächst wieder die zulässigen AVerte von ;.. Für den Maximalwert I ist 

 nur /< = möglich; also ist ^j_(I + i)>I, d. h. I<- ^-, oder I = — — 

 Zur Bestimmung der in Frage kommenden Werte von (i haben wir die 

 Ungleichung p — {l+\ + '2n)> /, d. h. n < ~^^^=^ "*" ^^ • Daher ist das zu 



jj (2/1-1-2) 



einem gegebenen / gehörige Maximum von ,«: Ji = -^ • Die An- 



zahl der existierenden St'j, in diesem Falle geraden ^/s ist nun leicht zu 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. ** 



