Die gleicheckig-gleichtlächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 6* 



Da nun für ungerades n die plagiedrische Hemigonie des M-seitigen 

 Prismas nicht existiert, so gilt der Satz: Für ungerades n ist kein St,. 

 eine Kombination von mehreren 57'. Dagegen gibt es Stephanoide 

 erster Ordnung, die Kombinationen dergleichen solcher geringerer Eckenzahl 

 sind: Haben in St„ i' ."''j die drei Grössen w, /., / + 2/< einen gemeinsamen 



Faktor 0, der verschieden von 2 ist, weil n ungerade sein soll, so ist das 



;- + 2,«/ 

 St„ diskontinuierlich und besteht aus Stephanoide erster ( )rdnung SU 



St„ 



a 



•2^ 



ö 



Ö 



;. 



ö 



Da - + 2- um eine gerade Zahl grösser ist als -, so er- 



kennt man sofort, dass es sich um Stephanoide erster Ordnung handelt. 

 l']s ist z. B. 6'<i5 (;;) 3 St-^ (■[). Ist n eine Primzahl, so sind natürlich sämt- 

 liche Stn kontinuierliche Polyeder. Es sei nun n gerade. Für den 



]\Iaximalwert ;. gilt wieder ;. < 



", denn für / = — ^— werden die beiden 



Diagonalen der Grenzflächen gleich, also ist x = 



n — 4 



Ferner ist [i < 



n — 2 /. 



also, da n gerade, jener Wert also eine ganze Zahl ist: n 



\ d.h. ^»^ 



w — 2(2+J.) 



2 



-2 )(w-4) p 

 -- . Es 



Die Zahl aller möglichen St„ ist 1 + 2 -t- :^ + . . - - 



gibt also für w = 6, 8, 10 ... . ebensoviel Stephanoide erster Ordnung wie 

 für M = 5, 7, 9 . . . ., d. h. die Anzahl der Sto^ ist gleich der Anzahl 

 der Sti„,-i. Die Stephanoide St„ für gerades n zerfallen nun in drei ver- 

 schiedene Gruppen, von denen die erste kontinuierliche, die beiden anderen 

 diskontinuierliche Polyeder enthält, a) Die Zahlen n, / und ?.-\-2(i haben 

 keinen allen drei gemeinsamen Faktor. Dann muss, da w gerade ist, ?. un- 

 gerade sein. Diese St„ sind kontinuierlich, b) Die Zahlen w, ;., / + 2^ 

 haben bei ungeradem / den gemeinsamen ungeraden Faktor 0, so dass 



n = wo", /. ^ /'ö, ft = fio. Dann ist Sf„ ( . 1 — o.Stml ., 1. Da 



2/^' gerade ist, so sind die Einzelpolyeder sicher Stephanoide <s7. Beispiel: 

 P^s ist St-n ('„') =^ 3 St^ Q). c) Es sei /. gerade. Dann ist: 



St„ 



y. + 2fi 



Stn 

 ■2 



+ f 



