Die gleicheckig-gleicbflüchigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 77 



zähligeu gegen den dreizähUgen, < A\C, sei Xt dann ist cos / = - [/ä und 



;( = 540 44' 8"; der Winkel C\B endlich sei if>; so ist cos r/; = - [/e und 



damit y> = 35" 15' 52". Legt man durch die Endpunkte je dreier benach- 

 barter Strahlen Ä, B, C Ebenen, so erhält man die 48 Grenzflächen des 

 Hexakisoktaeders, die ungleichkantige Dreiecke sind, und zwar 24 rechte 

 und 24 linke Flächen. Der polar-reziproke Körper entsteht, wenn man in 

 den Endpunkten der Strahlen Ebenen senkrecht zu ihnen legt. Die vorhin 

 angegebene zentrale Ecke ist die Polarecke zu jeder Ecke des entstehenden 

 gleicheckigen (6 + 8 + 12) -flächigen 2.24-Ecks, das 24 rechte und 24 linke 

 Ecken besitzt. Die gleichflächigen Körper 2. bis 7. ergeben sich aus dem 

 ersten für bestimmte Längen der Strahlen A, B, C. Es werde für alle 

 Körper, da nur das Verhältnis der Strahlen in Frage kommt, die Länge C 

 des dreizähligen Strahles als konstant angenommen. Für das Hexaeder ist 

 dann, wenn dessen vier- und zweigliedriger Strahl mit A,, und Bn be- 

 zeichnet werden: 



Ai, = - :^ und Bi, = -^-• 



Für die übrigen Körper sei nun A ^ A^.t, B = B^.o, worin r und 

 ö zwei reelle Parameter sind, die nur für das Hexaeder zugleich 1 sind; 

 sonst sind sie > 1, damit das zugehörige Polyeder konvex ist. Die Maximal- 

 werte sind r = 3 und = - für das Oktaeder ; für t > 3 und > ^ ergeben 

 sich wiederum nichtkonvexe Polyeder (Koiloeder nach Fedorows Bezeichnung). 



2. Analytisch - geometrische Behandlung der gleichflächigen 

 Polyeder erster Art des Typus. Zur analytisch-geometrischen Behandlung 

 der sämtlichen Polyeder des Hexakisoktaedertypus bietet sich das System 

 der drei Achsen A von selbst dar. In dem rechtwinkligen Koordinaten- 

 system sei der Strahl A^ die senkrecht nach oben gerichtete positive .e;-achse, 

 der Strahl .4.. die wagrecht nach vorn gerichtete positive a;-achse und der 

 Strahl A-i die wagrecht nach rechts gerichtete positive y-achse. Für die 

 acht von den drei Ebenen durch je zwei der Achsen gebildeten Oktanten 

 ergeben sich dann (wie fernerhin stets vorausgesetzt) die Vorzeichen der 

 Koordinaten in der Reihenfolge: 



