Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 79 



sind, so enthalten die Gleichungen nur drei Koeffizienten, in denen neben 

 den veränderlichen beiden Parametern und r nur die Konstante a auftritt, 

 von der lediglich die absolute Grrösse des Polyeders abhängt. Je acht 

 Gleichungen haben in jc, y, z dieselben absoluten Koeffizienten und unter- 

 scheiden sich nur durch deren Vorzeichen. Für die Aufeinanderfolge dieser 

 gilt das oben gesagte. Die 48 Gleichungen für die links durch ihre Nummer 

 ano-esebenen Flächen sind: 



'O^ö^ 



7) 



1), 2), 5), 6), 44), 45), 48), 41), + (r — ö)a; + r (ö — Dy + ö^ — öra = 0. 



8), 3), 4), 7), 43), 46), 47), 42), + t(o-— l)a; + (t — ö)y + ö^ — öra = 0- 



12), 13), 20), 21), 30), 31), 38), 39), + ox ±x{o — \)y ±(x — (i)z — (ixa = 0. 



11), 14), 19), 22), 29), 32), 37), 40), ± ox ±{t: —o)%j ±x{6—\)s — (ixa = Q. 



9), 16), 17), 24), 27), 34), 35), 26), ±x(ß—\)x ±(jij ±(x — o)z — oxa = 0. 



10), 15), 18), 23), 28), 33), 36), 25), +(t — ö)a,+ oy ±x {(i — \)z — (>xa = 0. 



Zur Bestimmung der Relationen der Ableitungskoi'ffizienten und r 

 der speziellen aus dem Hexakisoktaeder entstehenden gleichflächigen Kcirper 

 und zur Aufstellung der Gleichungen ihrer Grenzflächen gehen wir von 

 den Winkeln benachbarter Flächen des allgemeinen Körpers aus. Dieser 

 besitzt Kanten dreierlei Art. Die Kanten AB, BC, AC verbinden bezw. 

 achtkantige mit vierkantigen, sechskantige mit vierkantigen und achtkantige 

 mit sechskantigen Ecken. Bezeichnet man die Winkel, die zwei benach- 

 barte Ebenen in ihnen besitzen mit a»s,4, a>„,4 und <»,,«, so ist für das 

 Hexakisoktaeder jeder dieser Winkel verschieden von Null, während für 

 die speziellen Körper, bei denen 2, 4, 6 oder 8 Flächen in eine Ebene 

 fallen, einer oder zwei dieser Winkel den Wert Null besitzen. Es ergibt 

 sich nämlich das 



Deltoidlkositetraeder für m^,i^ = 0. Rhombendodekaeder für £»„,4 = 0, «8,4 = C 



Triakisoktaeder „ co^,^ = 0. Oktaeder „ «»,,,4 = 0, ros,r, = 0. 



Tetrakishexaeder „ 03^,4 = 0. Hexaeder „ (0^)4 = 0, »^,0 ^ 0- 



Drückt man nun in bekannter Weise die cosinus der Winkel zweier 

 Nachbarflächen durch die Koeffizienten der Gleichungen dieser aus, so er- 

 geben sich für die cosinus der oben genannten Winkel am Hexakisoktaeder 

 die Werte: 



