Die gleicheckig-gleicbflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polj'eder. 81 



Für die späteren Diskussionen ist es empfehlenswert, die Abhängigkeit 

 der Koeffizienten und t geometrisch übersichtlich darzustellen. Deutet 

 man und r als rechtwinklige Koordinaten, wobei die positive ö-achse 

 wagrecht nach rechts, die positive r-achse senkrecht nach oben verläuft, so 

 stellen die Gleichungen = 1 und t = 2 zwei Gerade dar (vergl. Fig. 2, 

 Taf. 8), von denen die erste, C, der Figur, parallel der r-achse im Abstände 1, 

 die zweite, Co, durch die Punkte = 1, r = 2, und = -, t = 3 läuft. 



Die dritte Kurve C3, deren Gleichung r = ^_ ist, ist ein Hyperbel durch 



die Punkte = 1, t = 1 und = -, r = 3. Die Werte der und t, welche 

 Punkten dieser drei Kurven innerhalb der angegebenen Grenzwerte zugehören, 

 bestimmen konvexe Individuen der ersten drei speziellen Körper, während 

 die genannten Grenzwerte selbst eben den drei übrigen speziellen Körpern 

 zugehören. Alle konvexen Hexakisoktaeder besitzen solche und r, die 

 innerhalb des von den drei Kurven begrenzten Flächenstückes liegen.^) — 

 Ehe wir für die Körper 2) — 7) die Gleichungen der Grenzflächen aus 

 denen der Flächen des allgemeinsten Polyeders 1) unter Berücksichtigung 

 der vereinfachenden Bedingungen 9) und 10) ableiten, sind für die Be- 

 zeichnungen dieser Grenzflächen jedesmal die nötigen Angaben zu machen.'*) 



Das Deltoidikositetraeder. Die Ecken einer vierkantigen 

 Grenzfläche, die ein Deltoid ist, sind zwei Punkte B und je ein Punkt A 

 und C. Die Kanten AC des allgemeinen Polyeders kommen hier zum Ver- 

 schwinden. Durch die Punkte A und G sei die Fläche bestimmt. Die Be- 

 zeichnungen der Flächen sind dann die folgenden, wobei für die Achsen 

 und die beiden vor sie gesetzten Flächen die frühere Bemerkung gilt: 



1), 24):ACi 4), 22):^, C3 7), 19) : ^2 Co 10), 14) : J2'C4 



2), 23):^, C, 5), 17):^3C, 8), 20):^3'Co 11), 15) : ^i'^j 



3), 21):^iC4 6), 18):^.,Ci 9), 13):^3'Cj 12), 16) : ^r, C3. 



1) Es wird kaum zu Irrtümern Veranlassung geben, wenn wir später kurz von einer 

 „Triakisoktaedergeraden" (nämlich C2) bezw. einem „Hexaederpunkte" (dem Schnittpunkte 

 von Ci und C3) u. s. w. sprechen. 



-) Note I zeigt tabellarisch die entsprechenden Flächen des Hexakisoktaeders und 

 der speziellen Körper des Typus, wobei nur das Oktaeder und Hexaeder nicht berücksichtigt 

 sind, weil sie beide nicht als llüllpolyeder der weiterhin zu betrachtenden diskontinuierlichen 

 und nichtkonvexen Polyeder höherer Art auftreten. 



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