Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 85 



Grössen sind mit C als Einheit gemessen. An Stelle der Grösse ÄtC^ tritt 

 für gewisse Varietäten, die durch *) hervorgehoben sind, die Grösse CjCi', 

 wenn also die Achse CV die Spur Ä^ C'i schneidet. Die obigen Formeln der 

 Berechnung bedürfen dann einer einfachen Korrektur. Sind die im vor- 

 stehenden angegebenen neun Punkte Ä, B, C in der vollständigen Figur 

 nach den berechneten Werten konstruiert, so ergeben sich die sämtlichen 

 übrigen Achsenpunkte als Schnittpunkte von Geraden, die durch je zwei 

 oder mehrere der neun Punkte zu legen sind. Ist nämlich 31 irgend eine 

 Achse des Polyeders, so sei «) diejenige Fläche, die sich durch Spiegelung 

 der Fläche l) an irgend einer der Symmetrieebenen durch die Achse M 

 ergibt. Die Ebenen aller Flächen, die bei Drehung des Polyeders um die 

 Achse 31 mit i) oder a) zur Deckung kommen, schneiden sich dann in 

 einem Punkte der Achse M, und da dieser Achsenpunkt 3£ auf 1) liegt, so 

 schneiden sich in ihm in der vollständigen Figur die Spuren der Ebenen 

 der genannten Flächen. Für sämtliche Achsenpunkte in der vollständigen 

 Figur sind hier die durch sie verlaufenden Spuren zusammengestellt: 



Ai (2, 3, 4, 5, G, 7, 8); A (2, 15, 33, 45, 44, 28, 10); Ä,. (12, 30, 44, 41, 39, 21, 6); 

 C, (12, 11, 10, 9, 8); C-i (12, 32, 33, 17, 4); Gj (10, 26, .S9, 19, 4); C\ (8, 40, 39, 34, 33); 

 I?, (2, 12, 13); Bi (10, 23, 6); Bi (8, 43, 44); B, (6, 33, 36); B^ (2, 38, 39); -B« (4, 44, 47). 



Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass sich für besondere Varie- 

 täten des Hexakisoktaeders in einzelnen dieser Punkte mehr als die an- 

 geführten Flächen schneiden. — Nun ist ersichtlich, dass durch die bereits 

 auf den drei Spuren 2) 8) und 12) liegenden berechneten Achsenpunkte 

 zunächst die folgenden weiteren Spuren bestimmt sind: 4, (A.Q; 6,(^1,^3); 

 10, (^2. t'i); 33,(^2-^4); 39, (^3, C'j) und 44, (^o.Q- Fs sind dies die Spuren 

 der Ebenen der sämtlichen Flächen «), die im Verein mit den Flächen 

 2) 8) 12) die Spiegelbilder der Fläche i) an den sämtlichen Symmetrieebenen 

 des Hexakisoktaeders bilden. Andererseits sind durch diese Spuren die 

 noch fehlenden Achsenpunkte bestimmt, nämlich C3 durch den Schnitt von 

 10), 39), 4); die Achsenpunkte B durch je zwei Gerade: B, (6, 10), -B4 (6,33), 

 -B5 (2, 39), Bii (4, 44) Mit den bisher bestimmten neun Spuren sind als zweite 

 Gruppe von Geraden die Spuren der zu jenen Ebenen parallelen Ebenen 

 bestimmt, da jede von diesen Spuren überdies durch wenigstens einen der 



