Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 89 



A, (2, 3, 4); A.2 (6, 10, 19); 



C, (4, 5, 6, 7, 8); C^ (8, 9, 10, 11, 2); C, (2, 13, 23, 17, 6); G (10, 21, 23, 15, 4); 



J5, (8); Ä (3, 16, 6); J?3 (4, 18, 19); jB, (10, 12, 3); B, (23); B, (19, 22, 2). 



Durch die drei ersten Geraden mit ihren Achsen sind dann weiter 

 geg-eben: 23 (C3, Q; 6 (Cj, C,); 10 (C., Q; 19 (i',.„ Jj'«) und ferner: 3 (8, ^). 



Hiermit sind die noch fehlenden Achsenpimkte bestimmt, nämlich: -B2 (- 

 Bi (—), da die Achsenpunkte Ä,, U,, J?-, bezw. die Mitten der Strecken 

 B:tBfi,(\C., und CiCj sind. Es folgen schliesslich die Geraden: 12(6, i'j); 



16 {10, B,}; 18 (2, i';,); 22 (4, i'J; 7 (^, r.^, 9 J"^, C-^; 13, (7, Q; 15 (9, Q; 



17 (^, Ca); 21 (^~, C,); 5(21,6',) und 11 (17, Q. 



Was endlich das Rhomben dodekaeder anbetrifft, so si)richt die 

 vollständige Figur (Taf. 4 Fig. 7) für sich selbst, da das Verhältnis der 

 Diagonalen der rhombischen Grenzfläche bekannt ist. Damit sind sämtliche 

 für die Diskussion der zu besprechenden Polyeder nötigen vollständigen 

 Figuren konstruiert. 



5. Das gleiclieckige (6 + S + 12)-flächige 2 . 24-Eck und die speziellen 

 gleicheckigen Polyeder erster Art des Typus. Die gleicheckigen Polyeder 

 sind die polarrcziproken der gleichflächigen in Bezug auf eine feste Kugel 

 um das Zentrum der letzteren als Direktrix. Wir nehmen als Radius dieser 

 Kugel die konstante dreizählige Achse C, die Flächenachse des Oktaeders. 



Dann sind dessen beide andere Achsen Äo = C'^/s, die Eckenachse des 



G — 

 Oktaeders, und Bo = -x-i/6, die Kantenachse des Oktaeders. Das allgemeinste 



gleicheckige Polyeder des Typus, das (6 + 8 + 12) -flächige 2. 24- Eck, wird 

 nun aus dem Oktaeder durch gerade, zu den Achsen senkrechte Abstumpfung 

 der Ecken und Kanten erhalten. Seien die vierzähligeu und zweizähligen 

 Flächenachsen des entstandenen Körpers Ä' und J>", so ist A' = Ao.t und 

 B' = Bo.s, worin t und s reelle Parameter, kleiner als 1, sind. Da nun 

 wegen der Polarität AA' = C- und BB' = C\ aber auch Ao.A,, = C'- und 

 Bo-Bi, = C'2 ist, so ist o.s = r.t ^=\, d. h. s = -, <=-. Die Ecken des 

 gleicheckigen Polyeders sind die Pole zu den Ebenen des gleichflächigen 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 12 



