Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinnierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 93 



§ 2. Die Sphenoidgnippieruiigen des Hexakisoktaedertypiis. 



1. Allgemeine Ableitung der sieben Gruppierungen. Wir 



beginnen die Untersuchung der zugleich gleicheckigen und gleichflächigen 

 Polyeder höherer Art des Hexakisoktaedertypus mit den diskontinuierlichen 

 konvexen Polyedern. Sie sind sämtlich Ivombinationen von rhombischen 

 oder quadratischen Sphenoiden, von denen die ersteren unter Umständen in 

 quadratische Sphenoide, die letzteren in Tetraeder übergehen. Für den all- 

 gemeinsten gleichflächigen inneren Kern, bezw. das allgemeinste gleich- 

 eckige Hüllpolyeder bestehen diese Gruppierungen aus zwölf Einzelkörpern 

 mit kongruenten bezw. symmeti'isch- gleichen dreieckigen Grenzflächen und 

 dergl. dreikantigen Ecken, so dass die Art jeder Fläche und Ecke eins, 

 die Art des Polyeders gleich der Anzahl 12 der konstituierenden Sphenoide 

 ist. Für die speziellen Polyeder des Typus als Kern und Hülle reduziert 

 sich die Zahl der Sphenoide unter Umständen auf 6, so dass dann auch 

 Ä = 6 ist. Wir wenden uns nun einer genaueren Betrachtung der Ecken 

 des (6 -f- 8 + 12) -flächigen 2 . 24-Ecks und der Flächen des ihm polarreziproken 

 Hexakisoktaeders zu, um zunächst die Existenz der möglichen Sphenoid- 

 gruppierungen zu erschliessen. 



Die 48 Ecken des (6 + 8 + 12)- 

 flächigen 2. 24-Ecks lassen sich auf 

 dreierlei Weise als die Ecken von 

 je drei prismatischen (2 + 2.4)- 

 flächigen 2.2.4-Ecken anordnen, 

 deren Hauptachsen die Achsen Ä^, 

 A2, A;i des 2. 24-Ecks sind. Denn 

 es liegen diese 48 Ecken dreimal 

 in sechs parallelen, senkrecht zu 

 den Hauptaclisen A befindlichen 

 Ebenen, deren äusserste die Ebenen 

 der achteckigen Grenzflächen des 

 Polyeders selbst sind. Diese An- 

 ordnungen der 48 Ecken in Bezug 

 auf die drei Achsen Ai, A.,, A^ sind: 



Die 48 Flächen des Hexakis- 

 oktaeders lassen sich auf dreierlei 

 Weise als die Flächen von je drei 

 ebenrandigen (2 + 2 . 4) -eckigen 2.2-4- 

 Flachen anordnen, deren Hauptachsen 

 die Achsen ^i, A^_, A^ des Hexakis- 

 oktaeders sind. Denn es liegen diese 

 48 Flächen dreimal zu acht in sechs 

 Zonen um die Achsen A, dass z. B. 

 die Flächen je einer Zone um die 

 Achse A^ die Spiegelbilder einer 

 anderen Zone um diese Achse gegen 

 die Ebene durch A-. und A^ sind. 

 Diese Anordnungen der 48 Flächen in 

 Bezug auf die drei Achsen A^ , A-i, A^ sind : 



