Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 97 



[ 1, 5, 

 n. I 2, 6, 



42, 46. ( 1, 45, 25, 18. ( 1, 41, 20, 31 



1. Gr. ; - "' ''' "'■ 2. Gr. '- ^4, 23, 36. 2, 48, 30, 21. 



" 4, 41, 45. 8, 42, 19, 32. 8, 46, 26, 17. 



12, 31, 19, 40. 42, 20, 34, 26. '12, 39, 5, 45. 



Um nun die Sphenoidgruppierungen kennen zu lernen, die an Stelle 

 der allgemeinen für den Fall treten, dass die inneren Kerne der entstehenden 

 diskontinuierlichen Polyeder die speziellen g-leichflächigen Körper des Typus 

 sind, brauchen wir nur mit Hilfe der in Note I gegebenen Tabelle die 

 Zahlen der Flächen der vier angeführten Sphenoide durch die Benennungen 

 in den speziellen Fällen zu ersetzen. 



a) Aus dem Hexakisoktaeder ergibt sich das Deltoidikositetraeder, 

 wenn jeweils zwei Flächen des ersteren, die eine Kante AC gemeinsam 

 haben, in eine Ebene fallen. Das erste und dritte Spheuoid jeder Gruppe 

 der obigen Aufzählung wird dann: 



^ „ 11, 3, 23, 22. „ ,.. il, 22, 20, 9. „ p jl- 23, 10, 15. 



1. Or. 1 2. ur. 1 .i. <jY. i 



(l, 3, 23, 22. il, 23, 10, 15. (l, 22, 20, 9. 



D. h.: Tritt an Stelle des Hexakisoktaeders als innerer Kern das Deltoid- 

 ikositetraeder, so fallen je zwei Sphenoide der ersten Gruppe zusammen, 

 und das diskontinuierliche Polyeder stellt eine Gruppierung von nur sechs 

 quadratischen Sphenoiden dar. Die Sphenoide der zweiten und dritten Gruppe 

 sind identisch; das diskontinuierliche Polyeder ist eine Gruppierung von 

 zwölf Sphenoiden, bei denen je zwei Fläclien verschiedener Sphenoide in 

 einer Ebene liegen. Bedeuten aber die obigen Zahlen Eckenzahlen, und 

 diese Auslegung ist ohne weiteres nach den vorhergehenden Betrachtungen 

 zulässig, so liest man aus ihnen ab: Tritt an Stelle des (6 + 8 + 12)- 

 ilächigen 2.24-Ecks das (6 + 8 + 12) -flächige 24-Eck, so reduzieren sich die 

 Sphenoide der ersten Klasse auf sechs, die der zweiten und dritten sind 

 identisch, und zwar ergeben sich zwölf Sphenoide, von denen je zwei ver- 

 schiedene je eine Ecke in einem Eckpunkte des Hullpolyeders gemeinsam haben. 



b) Lässt man immer zwei Flächen des Hexakisoktaeders mit gemein- 

 samer Kante BC in eine Elbene fallen, wodurch es in ein Triakisoktaeder 

 übergeht, so wird das erste und vierte Sphenoid der obigen Tabelle für die 



^ „ 11, 20, 22, 11. „ „,. (1, 5, 15, 19. il, 16, 20, 5. 



^- 'l, .5, 19, 15. ^- (1, 20, 11, 22. ^- 11, 16. 20, 5. 



Nova Aota LXXXVI. Nr. 1. 13 



