Die gleicheckig-gleicliflächigen, diskontinuierlichen und nicbtkonvexen Polyeder. 99 



identiscli sind, ergibt. Andererseits ergeben sich die Sphenoide erster und 

 zweiter Klasse im Kuboolitaeder als identische und zwar besteht die Grup- 

 pierung aus sechs Sphenoiden, bei denen je zwei Ecken in einer Ecke des 

 Kuhooktaeders zusammenfallen. Wir untersuchen nun die Sphenoide der 

 drei Gruppen und ihre polarreziproke Verwandtschaft, indem wir uns der 

 analytisch-geometrischen Methode bedienen. 



.3. Die erste Gruppe der qviadratischen Sphenoide. Die vier 

 Grenzflächen des ersten Sphenoids dieser Gruppe fallen in die Ebenen der 

 Flächen i, 5, 42, 46 des Hexakisoktaeders und die Ecken des Sphenoides 

 bestimmen sich als die Schnittpunkte von je drei dieser Flächen. Für die 

 Koordinaten des Schnittpunktes der Flächen l), 5), 42) findet man:^) 



2öT-(ö — \)a 2 g T ( t — o)a 



^ ^ "~ tMö— lpT(T — ö)-^ ' ^ ~" ~^tHa — l)^ + (T—ay ' ^ — ''"• 



Danach ist, da /< < A < r sein muss : x = — k, n = fi, y = v, so lange 

 2öt2((J— 1) 



> T, d. h. 



T-((T — l)2-h(T — ö)2 



17) T^a — ir- + (T — ay-£2üTio—l) 



i.st, und so lange -^-^ :^Vi-r^ — vt^-tt ,w , . ^A-a > d.h.r — o->t(ö— 1) 



oder 



ist. Oder mit anderen Worten: unter diesen Bedingungen ist die obige 

 Ecke die Ecke 23) des (6 + 8 -f 12) -flächigen 2 . 24-Ecks und die übrigen Ecken 

 des ersten Sphenoides sind 15 (l, 5, 46): + X, — v, -f- //; 37 (5, 42, 46): — r. —l,—ii; 

 29 (1, 42, 46): + '', + k. — (i, d. h. nach den Ecken ist das Polyeder der 

 zwölf Sphenoide von der dritten Klasse (vergl. Tabelle A^ in Kap. III 

 § 2 Nr. 1). Wir deuten nun o und t wiederum als rechtwinklige Koordi- 

 naten und die Gleichungen zwischen o und r als solche von Kurven in 



') Wir bemerken, dass alle elementaren Rechnungen hier und im folgenden stets 

 unterdrückt sind, besonders soweit sie sich auf Bestimmung der Schnittpunkte von Ebenen 

 u. s. w. erstrecken. 



13* 



