Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvesen Polyeder. 101 



« = —//,«/ = V, z ^^ }., d. h. der Sclmittpunkt der Flächen l), 5), 42) ist die 

 Ecke 24) und die Sphenoidgruppierung ist von der zweiten Klasse. Wir 

 betrachten nun zunächst nur die Hexakisoktaeder a). Für sie gilt also: 



^„ _ 20T-((i — l)a 2öt(t — ö)a 



ly) ^ — ^(ö— l)2 + (r — ö)2 ' '' ~ ^'^' ^ " t2(ö— 1)2 + (T — ö)2- 



Danach ist für das von den Ecken gebildete (6 + 8 + 12) -flächige 2 . 24 -Eck: 



V 2ö(t — ö) _ . 



20) 



t = 



;i+,u + v 2oMr — 1)-|-t2(o- — 1)2+(t — ö)2' 

 X + v 2ö2(t— 1) 



X+fi + v 2ö2(t— 1)-|-t2(ö— 1)'^-|-(t— ö)'^" 

 Für das Verhältnis der Kanten ergibt sich: 



\h ■■ h ■■ h = [2 ö^ (T - 1) — t2 (ö - 1)2 - (r2 - ö2)] 

 ' { :[4ö(t — ö) — 2öMt — 1)] : [t2(ö — l)2-i-(T — ö)2]t/2. 



Wir untersuchen zunächst die folgenden speziellen Fälle. Es sei 

 der Kern der Gruppierung die archimedeische Varietät des Hexakisoktaeders, 



d.h. a = _ 3(4-H/'2 ^ ^ _ l(l±YR Werte, die tatsächlich innerhalb des 

 14 7 ' ' 



hier behandelten Gebietes liegen. Dann sind die drei Koordinaten einer 



Ecke des äusseren (G + 8-1-12)- flächigen 2. 24-Ecks: k = ^\/2, n = ^(•^ + 1/^)^ ^ 



2 7 



^ _ 3(2 + l/2)a ^^ ^^^^g^ ^ _ 3^/2-2 ^. _ 1-j/i ^j^^_ j,..^ ^^^^ y^^. 



2 -4 2 



hältnis der drei Kanten ergibt sich: 



h, : h : /,;;, = ^^ — ^y^ . 3 ^§ . ^^3 + 1/^) = 1 : 13,07 : 11,66 (mit einiger An- 

 näherung). Die Fläche des aus zwölf Sphenoiden bestehenden diskontinuier- 

 lichen Polyeders ist in der vollständigen Figur 1 Taf. 5 der archimedeischen 

 Varietät des Hexakisoktaeders das Dreieck Dil).,!)^. Das Modell des 

 Polyeders zeigt Fig. 6 Taf. 22. Wir fragen nun nach dem inneren Kern 

 derjenigen Gruppierung, deren Hüllpolyeder die A. V. des (6-1-8 + 12)- 

 flächigen 2. 24- Ecks ist. Ist l\ = ki^^k-i, so bestehen zwischen den A, ,«, v 

 die Gleichungen: ?. — fi = v — X = ii\/2. Danach ist }. = t{\/2 + l)a, woraus 



2öt(ö — 1) 



*) t2(ö — 1)2-1- (r — ö)2 3= -^-- "' 



1/2 -h 1 



