Die gleicheckig-gleichflächigen, disliontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. lOo 



d. h. der Kern ist eins der einfach -unendlich vielen Hexakisoktaeder, deren 



ö und T diese Relation erfüllen. Es wird damit X^= u = ra, v ^= a 



'^ — 1 



und t = ^=^ , s = ''(^~^> — . d. h. t = 2S-1. Die A. V. des 24- 



2ör — T — ö 2öT — r — ö 



— fi/2 



Ecks ereribt sich , wenn r — u = u 1/2 , d. h. wenn = ^ ist. 



.t-M/2 — 1 



Durch Einsetzung dieses Wertes in f) erhält man für und r: 0^2(2 — 1/2) 

 und T = 2. Damit aber ist: t = _lj/?_+J^^ 5 = ^4-J/2^^ wie behauptet. — - 

 Das Hüllpolyeder der Gruppierung ist das (6 -F 8) -flächige 8". 3-Eck, wenn 

 X =^ V ist. Das gibt die Bedingung: t(ö — 1) = t — 0, d. h. = " . Ist 



also der innere Kern bei der ersten Gruppe quadratischer Sphenoide das 



Deltoidikositetraeiler, so ist die Hülle stets ein (6 4- 8) -flächiges 8.3-Eck. 



Wir untersuchen nur die Sphenoidgruppierungen mit Ecken zweiter 



Klasse, wenn das Hexakisoktaeder innerer Kern ist. Die Ecken des 



ersten Sphenoids sind jetzt: 24(1,5,42): —i/,v,X; 16(1,5,46): fi, — v,X; 38(5,42,46): 

 — V, — //, — X; 30 (1, 42, 46): ^', /i, — X; wobei: 



2CT^(g — Da 20T{T — o)a 



^2) X ^ ra, /i — ^2(ö_i)2 + (r — ö)2 ' "^ ~ ^^(ö — l)'^ -|- (t — 0)2 " 



Damit ist: 



23) 



2 Ö (t — ö) -f t2 (ö — 1)2 -h (t— 0) 

 S = 



t = 



2oMr— 1) + t2(ö— 1)^ + (T — ö)2' 

 2ö(r — ö) 



2ö2(t— 1) + t2(ö— 1)2-1- (r — ö)2 



Für das Verhältnis der Kanten des Hüllpolyeders gilt: 



24X (^>i ■■ h ■■ h = [r- (ö — 1)-^ + (r — ö)2 — 2 ö r (ö — 1)] 



^ i :[2ö(r — ö) — T2(ö — 1)2— (t — o)-^]:2öt(ö— 1)1/2. 



Betrachtet man z. B. die besondere Varietät des Hexakisoktaeders, 



„.. , , 11 ■ . XI A ^ 88 , 170 396 



für welche = — , t = 2 ist, so nndet man /i = ■—, X = ■■ — 



und damit < = ^, s = |P-, /c, :/.-2:/^-3 = 41 : 113 : 441/2. 



Ist der Kern der Spbenoidgruppierung, um zu den speziellen gleich- 

 flächigen Polyedern überzugehen, die hier in Frage kommen, das Triakis- 



