Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 105 



1), 20), 31), 41) des Hexakisoktaeders und man findet als Koordinaten des 

 Schnittpunktes der Flächen i), 20), 31): 



^., 4öt(t — o)a oa ia'^Ta 



2.0) ^ = ,2. 7-071^^2' y = -;7— T' ^ = 



Eine wie bei der vorigen Gruppe durchgeführte Untersuchung (s. am 

 Ende dieser Nr. 4) zeigt nun, dass stets — unter [ J den absoluten Betrag 

 einer Grösse verstanden — : M ^ W < [?/] ist, denn es ist immer: 2o^t, 

 und t2 + (2ö — t)" > 4öt(ö— 1). Dann ist aber: 



25') Z' = M, ^= M, »' = [«/], 



d. h. die Ecken des ersten Sphenoids sind: 16 (1,20, 31): ft,~v,X; 23(1,20,41): 

 — ;., r, //; 28 (1,31,41): /, j-, — // und 35 (20,31,41): — (i, ~ r, — X. Nach den 

 Ecken haben wir also Sphenoidgruppierungen erster Klasse, d. h. alle 

 der dritten Gruppe quadratischer Sphenoide angehörenden Polyeder sind 

 zugleich von der ersten Klasse und polarreziprok den Polyedern dritter Klasse 

 der ersten Gruppe. Mit Hilfe von 25) und 25') findet man für das von 

 den Ecken o-ebildete 2. 24 -Eck: 



26) 



_ 4öt(ö— 1) + t2 + (2ö — t)2 



t 



4t2 (o- — 1) + t2 + (2ö — t)2 

 t2-|-(2ö — t)2 



4r2(ö — 1)+t-'+(2ö — t)2 ' 



und berechnet für das Verhältnis der Kanten: 



^^ jA-, -.ki-.k^ = 4t(ö — 1)(2ö — t): [T2-|-4ör(ö— 1) + (2ö-t)2] 



{ :4t((J — 1)(t— 0)1/2. 



Wir untersuchen nun zunächst einige besondere Varietäten. Ist der 

 Kern die A. V. des Hexakisoktaeders, d. h. o = ^(^ + ^^), r = ^(^ + \/^) 



14 7 ' 



SO ergibt sich für das die Hülle bildende (6 + 8 + 12) -flächige 2 . 24-Eck des 



diskontinuierlichen aus zAvölf Sphenoiden gebildeten Polyeders die besondere 

 Varietät s = ^ + V^ ^ f =, 3(1/2 — l) ^ -Qj^g ^^^^ ^-j^^^ ^^^ reziproken Werte 



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von ö und r für das Kernpolyeder des zweiten in der ersten Gruppe der 

 quadratischen Sphenoide aufgeführten Vielflaches; wir haben in der Tat 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 14 



