106 Max Brückner, 



polarreziproke Vielflaelie ; die Hülle des einen ist polarreziprok dem Kern 

 des anderen und umgekehrt. Das besprochene Polyeder der dritten Gruppe 

 zeigt das Modell Fig. 4 Taf. 23; die Grenzfläche Fig. 3 Taf. 6. Für die 



Kanten des Polyeders gilt: Ä-, : fc, : l-i = i : AZUl_L . (y'2 + i). Bestimmt man 



in der früher vorgezeichneteu Weise diejenige Gruppierung der Sphenoide 

 dieser dritten Grup])e, deren äussere Hülle die A. V. des (6 + 8 + 12) -flächigen 



2.24-Ecks ist, so erhält man = 2(3 + 21/2) ^ ^ 2l/2(3 + l/2)_ Di^g gin^ 



_ 7 _ 7 



die reziproken Werte von ^^ und -J-J ^ , d. h. das durch diese 

 ' 24' 



Gruppierung gebildete diskontinuierliche Polyeder ist polarreziprok dem 



ersten allgemeinen Polyeder der ersten Gruppe. Wir untersuchen nun die 



Gruppierungen von S])henoiden, die entweder spezielle Kerne oder spezielle 



Hüllen besitzen. Der Kern sei ein Deltoidikositetraeder. Dann 



nehmen die Grössen ;., «, v für = — , die einfachere Form an: 



T + 1 



und damit ist: 



Sra 4t (t — Ija 2Ta 



(t — 1)2 + 4' '" ~ (t — ip + 4' *' ~ T^^^ 



^^ 4(t — 1) + (t— l)-^ + 4 _ (r + ir- 



t = 



2(T-^—l) + (t— 1)2 + 4 3r2 — 2t + 3' 



(r — 1)2 + 4 ^ t2_2t+5 



2(t2— 1)+ (t — 1)2 + 4 "■ 3t2 — 2r + 3' 



Ferner wird: h, -.Jc^-.h = 2 (4r— t^ — 3) : (3— t)2 : 2 (t— 1)2 . \/2- Die Hülle 

 ist also ein 2. 24- Eck. Ist der Kern speziell die A. V. des Deltoidikositetra- 



eders, d. h. t = 21/2 — 1, so ergibt sich s = ?JzVA, t — -. Es sind s 



und t die reziproken Werte zu = 2 (2 — 1/2) und t = 2 , für welche das 

 Polyeder der ersten Gruppe als inneren Kern ein spezielles Hesakisoktaeder, 

 als Hülle die A. V. des (6 + 8 + 12) -flächigen 24-Ecks besass. Für die 

 äusseren Hüllen aller Sphenoide der dritten Gruppe, deren innerer Kern ein 

 Deltoidikositetraeder ist, gilt dann die aus der früheren durch Einsetzen 



von ö = - und t = - ableitbare Relation: 



s t 



(1 — s)2 + (s— 02 = 2t{l — S). 



