Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 107 



Bei dem besprochenen Polyeder der dritten Gruppe, das überdies zugleich 

 der zweiten Gruppe zugehört, ist das Verhältnis der Kanten des Hüllkörpers: 



Ä, : h -h = i-l 1/2 : 1. Das Modell dieses Körpers stellt Fig. 16 Taf. 22 



dar; die Grenzfläche zeigt Fig. 11 Taf. 4. 



Der Kern der dritten Gruppe quadratischer Sphenoide sei nun das 



Triakisoktaeder. Es ist r = 20. Danach wird X = u = 20a, v = , 



^ ö— 1' 



d. h.: Für das Triakisoktaeder als inneren Kern ergibt die dritte Gruppe 

 quadratischer Sphenoide Polyeder, deren äussere Hülle ein (6 + 8 + 12) -flächiges 



24-Eck ist. Die Werte für s und t sind: s = -— ~— , t = -. Wählen 



4a— 3 4ö— 3 



wir als Beispiel die A. V. des Triakisoktaeders, = '^^ "*" — , so ergibt sich 



1/2 1 



s = — ^^ — und t = — :^ — , d. h. die A. Y. des (6 + 8 + 12) -flächigen 24-Ecks. 



2 [.'2—1 21/2—1 



Das aus sechs Sphenoiden bestehende diskontinuierliche Polyeder zeigt 

 Fig. 1 Taf 22. Die Grenzfläche ist in der vollständigen Figur der A. V. 

 des Triakisoktaeders Taf 4 Fig. 10 das Dreieck Pj P, P4 und in Taf. 4 

 Fig. 6 für sich gezeichnet. Im allgemeinen gilt übrigens für die Kanten 

 des Hüllpolyeders A-., : Ä-3 = (3 — 20-) : 2(0— i)i/'2- Jede solche Gruppierung 

 ist reziprok einem Polyeder der ersten Gruppe, dessen Kern ein Deltoid- 

 ikositetraeder, dessen Hülle ein 8.3-Eck ist. — Andere als die genannten 

 Kerne und Hüllen können für quadratische Sphenoide der dritten Gruppe 

 nicht auftreten, wie hier ausnahmsweise ausführlicher nachgewiesen werden 

 soll. Die Gleichung X = r, d. h. 



28) T2 + (2a — t)2 = 4öt(ö— 1), oder 2oHt — i) = t-^ 



ergibt: 



T = ö2 + oi/ö2— 2 oder = ^-^— _--■ 



— — 3 



Es ist also T reell für o>\/2- Für = \/2 ist t ^ 2, für = - ist 



T = 3 und T = -, d. h. die Kurve 28), nämlich die Kurve 65 in Fig. 2 



Taf 8 läuft durch den Oktaederpunkt und hat die Gerade t = 1 zur 

 Asymptote. Für alle Punkte links der 0,, also auch innerhalb des Gebietes 

 der konvexen Hexakisoktaeder ist stets T'^ + (2a — r)^ > 4ör(ö — i), da der 



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