108 Max Brückner, 



Punkt = 1, T = 1 diese Ungleichung befriedigt. Für alle konvexen 

 Hexakisoktaeder wird also / < r, d. h. ein 8.3-Eck als Hülle ist unmöglich. 

 Sollte endlich der Kern ein Tetrakishexaeder sein, d. h. a == i, so wäre 

 stets V = ao, d. h. solche Gruppierungen sind unmöglich. 



5. Die zweite Gruppe der quadratischen Sphenoide. Das erste 

 Sphenoid der zweiten Gruppe quadratischer Sphenoide besitzt die Flächen 

 1), 45), 25), 18) des Hexakisoktaeders. Der Schnittpunkt der Flächen i), 45), 18) 

 hat die Koordinaten: 



öT« _ 2o-Ta 20i'^{ö — l)a 



^ ~ r^a' y ~ ~"ö2 + t2(ö— IP' ^ ~ ö2 + t2(ö— 1)^* 



Wir beweisen nun, dass stets, für \Yerte von o und x, die konvexen 

 Hexakisoktaedern zugehören, erstens [z] < \y\ und zweitens [z] < [x] ist. Zum 



ersten gibt [z] = [y] die Gleichung t(ö — i) = ö, d. h. t = — — . Hiernach 



ist T = oo für 0=1 und r = 3 für <J = ^; d. h. zwischen ö = i und - 

 verläuft die Kurve [s] = [y] oberhalb des Gebietes der konvexen Hexakis- 

 oktaeder; für diese selbst ist also t < — — oder [z] < [«/]. Zweitens ist [z] = [x] 



gleichwertig mit der Gleichung -r:^-~ ^^ = — ^- oder 



o & O ß2 + x:2(ö— 1)- T—o 



29) 2t (ö— 1) (t— ö) = ö^ 4- t2 (ö— l)^ 



d.h. r"- — ^ — T = -^7" -, woraus r = ~~ f i + 1/ ) folgt. Dafür 



3— ö (ö— 1)(3— ö)' 3— ö V y 0—\) " 



ö = 1, T = oo ist, so hat die Kurve 29) die Gerade = 1 zur Asymptote; 



für ö = ^ ist T = 3 , d. h. die Kurve 29) verläuft ebenfalls oberhalb 



des Gebietes der konvexen Hexakisoktaeder. Für diese ist also stets 

 2t(ö — 1) (r — ö) < ö''-|-t2(ö — 1)2, d. h. [5-] < [o:]. Untersuchen wir nun das 



Verhältnis von \%j\ und [xX. Es wird [«] ^ M, d h. , , " , — —r- = , ie 



nachdem 2ö(t— 0) !^ ö^ + t^ö— i)" ist. Betrachten wir die Kurve 



30) 2ö(t— ö) = ö2-f-T2(ö— 1)^- 



