Die gleicheckig-gleicbflächigen, diskontiauieiiichen und nichtkonvexen Polyeder. 109 



Q 



Für ö = 1 ist 2(t — 1) = 1, d. h. t = -. Dies ist der Wert r für 

 die A. V. des Tetrakishexaeders, der in der Mitte zwischen Hexaederpunkt 



Q 



und Rhombendodekaederpunkt liegt. Für = - ist t = 3, d. li. wir liaben 



den Oktaederpunkt. Der in Frage kommende Zweig der Kurve 30) — die 

 Kurve C« in Fig. 3 Taf. 8 — , verläuft also innerhalb des Gebietes der 0, r 

 der konvexen Hexakisoktaeder, denn es gilt für jeden der Kurvenpunkte 



T = ;^^ (1 — j/jT— 3(ö— 1)2). Für das von der Geraden C^ und den Kurven 



C3 und Cb eingeschlossene Gebiet ist 2ö(t— ö)< 02 + t-(ö— IP- Für das über 

 der Kurve C^ liegende Gebiet ist dagegen 2ö(t— 0) > ö^ + t^ (0—1)2. Wir 

 haben demnach wiederum zwei Abteilungen der Hexakisoktaeder für die 

 Sphenoide der zweiten Gruppe zu unterscheiden. — Für die erste Ab- 

 teilung ist: 



_ 2öt2(ö — l)a . _ öra ^ 2o'^xa 



^^' ^ ~ Ö^TtMÖ^;^' T — 0' ^ ~ ö2 + t2(ö— 1)-' 



und a und t genügen der Bedingung 2ö(t— 0) > 0^ + t^ (0—1)2. Der Schnitt- 

 punkt der Flächen 1), 45), 18) ist x = +2, y = —v, z ^ +11, d. h. es ist 

 die Ecke 15) des (6 + 8 + 12) -flächigen 2.24-Ecks. Die übrigen Ecken des 

 Hüllpolyeders, die dem ersten Spheuoid zukommen, sind 28 (1, 45, 25): X, v, —ß; 

 6 (1, 18,25): —X,(i,v; 48 (45, 18,25): — )., —fj, —v, d.h. die Sphenoidgruppicrung 

 ist nach den Ecken von der zweiten Klasse. Dieser Abteilung gehören 

 von den speziellen Gruppierungen alle die an, deren Kern ein Triakis- 

 oktaeder oder gewisse Tetrakishexaeder sind (vergl. Fig. 3 Taf. 8). — Für 

 die zweite Abteilung ist: 



'» 



_ 2<tT2((> — l)a _ 2g2Ta _ ora 



3^) (^ — ö2 + t2(ö— 1)2' ^ ^ ö2 + t2(ö-1)2' " ~~ T — ö 



wobei ö und t der Bedingung 2ö(t— ö)< 02 -hT2 (0 — 1)2 genügen. Der 

 Schnittpunkt der Flächen 1), 45), 18) ist a; ^ -|- r, «/ = — ^, ^ = + j", d. h. 

 es ist die Ecke 14) des (6 + 8 + 12) - flächigen 2.24-Ecks. Die übrigen 

 Ecken des Hüllpolyeders , die dem ersten Sphenoid angehören, sind: 

 29 (1,45,25): v, X, — //; 21 (1,18,25): — 1^, //, A und 38(45,18,25): — r, —(i,—X; 

 d.h. nach den Ecken gehören die Sphenoidgruppierungen zur ersten Klasse. 



