Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 111 



Für das Verhältnis der Kanten erhält man: 



p, -.hiky = [ö2 + tMö— 1)- — 2r(ö — 1)]:[2ö(t— a) — ö2— tMö— ir-] 

 ^\ :2Tio~l)(T—a)[/2. 



Für die speziellen Werte = Hä±VR, r = l^l+j/^ d. h. wenn 



14 7 ' 



der Kern der Sphenoidgruppierung die A. V. des Hexakisoktaeders ist, wird 

 X = 3a, (1 = ^Mi±l)„, V = MM±^a. Das Hüllpolyeder ist diejenige 



Varietät des (6 + 8 + 12) -flächigen 2.24-Ecks, für welche s = -^ ^, 



" 31 + 8 1/2 



t = — 7- und \ : h, : Ä-3 = (8 1/2 — 3) : (5 — 2l/2) : (3 1/''2 -|- 1) ist. Die Fläche 



•31 ~p 8 [/ 2 



dieses Polyeders ist das Dreieck EiE-iE;, in der vollständigen Figur der A.V. 

 des Hexakisoktaeders Fig. 1 Taf. 5 und Fig. 8 Taf. 5. Das Modell des 

 Vielflaches ist durch Fig. 2 Taf. 23 dargestellt. Das polarreziproke Polyeder 

 gehört dieser selben Abteilung der zweiten Gruppe quadratischer Sphenoide 



an. Denn setzt man = — — — ^, x = — — — ^ in die allgemeinen 



5(6 + 1/2) 13 + 51/2 



Formeln ein, so erhält man X = ^J^tü^«, , ^ ^^^^^+,1^, . = H^^+m'ßa 



17_ "^ 17(7+41/2) 17(7 + 41/2) 



und damit s = il^-?, t = ^?Jr_k_?. Das sind aber die reziproken Werte 

 3 3 ^ 



der ö und t des vorher angeführten Polyeders. Die Fläche dieses zweiten 

 diskontinuierlichen Vielflaches zeigt Fig. 6 Taf. 7, das Polyeder selbst ist 

 in Fig. 5 Taf. 23 dargestellt. 



Wir betrachten nun zunächst Sphenoidgruppierungen mit speziellen 

 hierhergehörenden inneren Kernen und Hüllen. Der Kern der Gruppierung 



sei ein Triakisoktaeder, d. h. r = 20. Dann ist X = 20a, « = , , , , — -r-., 



' 1+4 (ff — 1)^ 



V = -P^-,; s = 3 + 4(f-i ):- t ^ % „ d.h. die Hülle ist ein 



1 + 4(0—1)2' 3 + 4ö(ö— 1)' 3 + 4ö(ö— 1)' 



(6 + 8 + 12) -flächiges 2 . 24- Eck, für welches 



Jc^ : Je, : A-3 = [4ö(ö— 1)2— 30 + 4] : [ö — 4ö(ö— 1)2] : 4ö(ö— 1)1/2 



ist. Ist z. B. der Kern die A. V. des Triakisoktaeders, d. h. = ^ "*" , so 



2 ' 



haben die zwölf Sphenoide, bei denen je zwei Flächen in eine Ebene fallen, 



