Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontiDuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 113 



Diese Gleichung zwischen a und t ist die Bedingung dafür, dass die 

 zugehörigen Polyeder autopolar sind. Die durch die Gleichung dargestellte 

 Kurve C- (s. Fig. 3 Taf. 8) verläuft, soweit sie für konvexe Kerne in Frage 

 kommt, folgendermassen. Für ö = i wird t = ?-+i-i, d. h. es liegt eine 

 bestimmte Varietät eines Tetrakishexaeders vor. Es wird für das zugehörige 

 Hüllpolyeder der Gruppierung nach den allgemeinen Formeln in der Tat 



— 1 3 



< = 2 — 1/'2 = -, s = 1. Für ö = - wird t = 3, und die Kurve C^ verläuft 



r 2 



zwischen ö =. i t = ^ + k_i und = -, t = 3. wie sich leicht nachweisen 



2 2 



lässt, innerhalb des Gebietes, das von den Kurven 6',, C^ und C,; begrenzt 

 wird. Die auf ihr liegenden Werte von und r gehören autopolaren Grup- 

 pierungen an, sie zerlegt das Gebiet der Gruppierungen mit Ecken zweiter 

 Klasse in zwei Teilgebiete, und es sind die Polyeder des einen Teil- 

 gebietes polarreziprok zu solchen des anderen, wie durch ein 

 besonderes Beispiel schon erhärtet war. Als Vertreter einer autopolaren 

 Gruppierung quadratischer Sphenoide der zweiten Gruppe wählen wir das 

 Polyeder, für welches r = 2 ist. Dann gibt die Gleichung 37) für den 



Wert -p. Hiernach wird (i = a, X = (i + V'sja, v = (2-M/'3)a, also t = 1 



s = ^, und es ist Jq -. h^ ■. h^ = 1/3 : 1 : 1/2. Das Modell dieses autopolaren 



Polyeders zeigt Fig. 11 Taf. 22; die Grenzfläche ist in Fig. 14 Taf. 6 ge- 

 zeichnet. — Wir beweisen nun den Satz, dass alle diese autopolaren Grup- 

 pierungen quadratischer Sphenoide sogar solche von regulären Tetraedern 

 sind. Zu dem Zwecke könnten wir direkt die Kanten der autopolaren 

 Sphenoidgruppierungen aus den Eckenkoordinaten berechnen; einfacher aber 

 verfahren wir hier, indem wir umgekehrt nach allen Sphenoiden der zweiten 

 Gruppe fragen, deren drei Kanten gleich sind. Nun sind die bereits an- 

 gegebenen Koordinaten der drei Ecken 15), 28), 6), bezw. l, —v, fi; X, v, —ft; 

 — X, II, V. Allgemein ist schon 28^ = is^e, aber verschieden von i5;28- Ist 

 aber 15,28^ = 28^', d.h. 4r2 + 4/<2 = 4^2 + ()- + f<)2 + (i;_^)2^ so ist 1^2 + ^2 =, 2X\ 

 Die Einsetzung der allgemeinen Werte für X, fi, v aus 31) in diese Gleichung 

 ergibt nach beiderseitiger Weghebung des sicher von Null verschiedenen 

 Faktors 02 + 72(0—1)2 die Bedingung: 



2(t — ö)2 = ö2-fT2(ö — 1)2 

 Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 15 



