116 Max Brückner, 



15^^ = 15T29 sein: also da 15,23" = iX'^ + iv-, und i&r29- = (v—X)'t + iv + ky- 

 + 4ju2 ist, so wäre X^ + r^ = 2,«^, was unmöglich ist, da y. <X<v sein soll. 

 Analog ist der Nachweis iu den übrigen Fällen. Da die Koordinaten der 

 Ecken der Polyeder berechnet sind, lassen sich leicht weitere metrische 

 Betrachtungen anstellen, z. B. die Oberfläche und der Inhalt der Polyeder 

 berechnen; doch gehen wir hierauf nicht ein. Wir stellen vielmehr im 

 folgenden nochmals übersichtlich mit Berücksichtigung der Figuren 1. 2, 3 

 auf Taf. 8 die polarreziproke Verwandtschaft der drei Gruppen quadratischer 

 Sphenoide zusammen. 



6. Die polarreziproke Verwandtschaft der drei Gruppen quad- 

 ratischer Sphenoide. Durch die vorstehenden Untersuchungen hat sich 

 ergeben, dass Gruppierungen quadratischer Sphenoide erster Klasse entweder 

 zur zweiten oder dritten Gruppe, solche zweiter Klasse zur ersten oder 

 zweiten Gruppe und die dritter Klasse zur ersten Gruppe gehören und es 

 hat sich der früher hingestellte Satz, dass Sphenoidkombinationen /-ter Gruppe 

 *-ter Klasse polarreziprok .sind zu solchen Z;-ter Gruppe i-ter Klasse, als 

 richtig erwiesen. Die Zuordnung der polarreziprok verwandten diskontinuier- 

 lichen Polyeder lässt sich leicht Gebiet für Gebiet, die Grenzkurven ein- 

 geschlossen, verfolgen. "Wir bezeichnen für die Übersicht jedes Gebiet 



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 durch seine Ecken [Bd, 0, H, A und B Punkte auf = 1, für die r = - 



l)ezw. ^ "*" ^ ist], sowie seine Grenzkurven [C'„ Co, C'3, Cj, Cg, G;], deren 



Gleichungen abgeleitet wurden, und stellen Gebiete und Grenzkurven polar- 

 reziproker Polyeder in bekannter Weise neben einander. Dabei sind bei 

 jedem Gebiete die Polyeder der Grenzen zunächst im allgemeinen aus- 

 geschlossen zu denken. Für das Innere jedes Gebietes ist der Kern des 

 Polyeders ein Hexakisoktaeder, die Hülle ein (6 + 8-1- 12) -flächiges 2.24-Eck, 

 und zwar sind die Werte 0, r {s, i] der Polyeder der linken Spalte stets 

 die reziproken Werte der s, t [0, t] der Polyeder der rechten Spalte. Wo 

 nicht anders bemerkt, entlialten die Gruppierungen je zwölf quadratische 

 Sphenoide. 



