Die gleicheckig-gleichflächigen, diäkontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 119 



dass die Polyeder, deren Hülle das (6 + 8 + 12) -flächige 24 -Eck ist, für die 

 zweite und vierte Klasse der Ecken identisch sind (dabei liegen je zwei 

 Ecken verschiedener Sphenoide in einer Ecke des Hüllpolyeders), für die 

 erste Klasse illusorisch werden. 



b) Das Triakisoktaeder und das (6 + 8)-flächige 8.3-Eck. 

 Hier fallen die Flächen l) und 12) des Hexakisoktaeders in eine Ebene; die 

 vier Gruppierungen sind dann: 



jl, 20, 10, 23. 11. 5. 18, 14. U, 5, 20, 16. ^^ (1, 16, 8, 17. 



(1, 5, 14, 18. (1, 20, 10, 23. (l, 20, 5, 16. Il, 16, 8, 17. 



Ist der Kern des diskontinuierlichen Polyeders ein Triakisoktaeder, 

 so fallen die Sphenoide der ersten und zweiten Gruppe zusammen, d. h. wir 

 haben zwölf Sphenoide, bei denen je zwei Flächen verschiedener Sphenoide 

 in einer Ebene liegen. Die Sphenoide der vierten Gruppe werden zu parallelen 

 Ebenen, während die sechs Sphenoide der dritten Gruppe mit den quad- 

 ratischen Sphenoiden dritter Gruppe identisch sind. Deuten wir die 

 Zahlen als Eckenzahlen, so lesen wir ab, dass die Sphenoide der ersten 

 und zweiten Klasse identisch sind (je zwei Sphenoidecken fallen in eine 

 Ecke des (6 + 8) -flächigen 8. 3 -Ecks), die Sphenoide der vierten Klasse aber 

 unmöglich werden. 



c) Das Tetrakishexaeder und das (6-f-8)-flächige 6.4-Eck. 

 Jetzt fallen die Flächen 1) und 2) des allgemeinen Kernes in eine Ebene 

 und es wird die 



„ (1, 3, 18, 22. il, 19, 12, 16. „ p (1, 19, 3, 24. )1, 24, 8, 23. 



'•^Ml, 3, 22, 18. ^•^'■il, 19, 12, 16. ^"^Nl, 19, 3, 24. ^'^Nl, 24, 8, 23. 



d. h. die Sphenoide der dritten und vierten Gruppe sind illusorisch, während 

 die je sechs Sphenoide der beiden anderen Gruppen wieder die quadratischen 

 Sphenoide sind, die für das Tetrakishexaeder als innerer Kern auftreten. Es 

 erübrigt sich daher, die Sphenoide für diesen speziellen Kern und die ent- 

 sprechende Hülle zu untersuchen. Das Gleiche gilt natürlich für das 

 Rhombendodekaeder und Kubooktaeder. Wir beginnen die Einzelunter- 

 suchung mit den Sphenoiden der ersten Gruppe und bemerken vorläufig, 

 dass nur für die dritte Gruppe die Polyeder zugleich nach den Ecken 



