Die gleicheckig-gleiclifläcbigen, diskontinuierlicben und nicbtkonvexen Poheder. 123 



in Verbindung mit 38) natürlich wieder die bereits oben angeschriebenen 

 "Werte s und t für die 24 -Ecke. 



Es sei nun der Kern der Sphenoidgrupinerung ein Triakisoktaeder, 

 d. h. T ^ 2ö. Dann ist für die Polyeder, die ihren Ecken nach zur vierten 



Klasse gehören: u = 2ö«, X = ^ — H^, v = , -r^, und damit: 



* ^ 1—4(0—1)2' 1—4(0—1)2' 



2 2 (2(J l) 



i^ . — 77i ^ — ^. «=:.— 7^ r^ • Für die Kanten der Hüllpolyeder, die 



4ö(3 — ö) — 5 4«(3 — ö)— 5 ^ •' 



(6 + 8 + 12) -flächige 2. 24 -Ecke sind, ergibt sich die einfachere Proportion: 

 1. — ii-9rQ o,;^•r1 a in 1^2^l/ö. T?ftiRnip.1: ri = 



— 5 



Ä] -./.-jr/ca = [4ö(ö— D— 1]:2(3 — 2o):[i— 4(ö— i)2]i/2. Beispiel: ö = -. Dann ist 



8 4 — 



t = ^, s = - und Z-, : Z-,, : /,-., := i:4:3i/2- Eür die den Polyedern mit Ecken 

 15 5 ' - ■* ^ 



zweiter Klasse zugehörenden Sphenoidgruppierungen , deren Kern ein 



Triakisoktaeder ist, findet man: u = — —, — -~-, l = 2aa, v = - — — — ,, also 



1 — 4((j — 1)- 1 — 4(a — 1)^ 



:4(ö— l)V2- Ist z. B. <> = —, also T=-^, so kommt: s == — , t = -^ und 



damit: h^:hi:hi^=i ■.iZ:b\/i- Da für 0=1 die rhombischen Sphenoide der 

 ersten Gruppe, die also zur zweiten Klasse gehören, mit den früher bereits 

 erledigten quadratischen Sphenoiden zusammenfiillen , so liegt die Frage 

 nach den sekundären quadratischen Sphenoiden, d. h. solchen die sich 

 für bestimmte Werte der und x des Kernpolyeders aus den rhombischen 

 ergeben, nahe. Wir werden jedoch die Untersuchungen im folgenden von 

 vornherein auf die Fälle beschränken, in denen ein positives Resultat ge- 

 funden wird. Für die Kanten der Grenzfläche 1) des ersten Sphenoids eines 

 nach den Ecken der vierten Klasse zugehörigen Polyeders gilt: 



15,23 =4;12 + 4j,2. 15,32- = 2(v— ;i)2 + 4//2; 2:3, :J2' = 2(r-|- ;i)2 + 4/<2. 



Da ;. =0 ausgeschlossen ist, so ergeben sich, wie die Untersuchung zeigt, 

 nur sekundäre quadratische Sphenoide, wenn 15,23'^ = 23, 32\ d. h. v—l=^^\/2 

 ist. Führt man hierin die Werte X, fi, v m und t ein, so reduziert sich 

 die Gleichung, indem sich a weghebt, auf t = [/2-|-i. Dies bedeutet die 

 Gleichung einer Geraden 65 (s. Fig. 10 Taf. 7) parallel der o-achse durch 

 den Punkt M für die A. V. des Triakisoktaeders. Es existiert also eine 

 einfach unendliche Reihe von Hexakisoktaedern, für welche die rhombischen 



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