124 Max Brückner, 



Sphenoide der ersten Grii])pe vierter Klasse zu quadratischen werden, wenn 

 für das genannte Kernpolyeder bei beliebigem zulässigem o der Parameter 

 r = [/2 + l ist. Die Werte von s und t für die Hüllen dieser Gruppierungen 

 quadratischer Sphenoide ergeben sich aus den Gleichungen 41). Von be- 

 sonderem Interesse ist nur diejenige Gruppierung, deren Kern die A. V. 

 des Triakisoktaeders , deren Hülle die A. V. des 24 -Ecks ist. Hier wird 

 ^ = 2 = (1/2 + I)«, r = (i/'2 + l)-.o und die beiden Kanten gleicher Länge 

 sind 2a 1/2 (10 + 7 1/2), während die dritte von ihnen verschiedene Kante des 

 Sphenoids 2 «(2 + 1/2) ist. — Endlich sei noch bemerkt, dass die rhombischen 

 Sphenoide der ersten Gruppe, die nach ihren Ecken der zweiten Klasse 

 zugehören, nicht quadratisch werden können, ausser natürlich für den bereits 

 erledigten Grenzpunkt 31, weil er zugleich dem Nachbargebiete angehört. 



9. Die vierte Gruppe der rhombischen Sphenoide. Das erste 

 Sphenoid wird von den Flächen 1), 41), 13), 38) gebildet. Der Schnitti)unkt 

 der Flächen 1), 13), 38) des Hexakisoktaeders hat die Koordinaten: 



2ö(t — a)(i aa 2o^o 



y = 



20— T ' ^ ö— 1' 20— T 



Dabei ist, wie die Vergleichung der Werte zeigt, stets [a']<[^], so lange 

 T<2ö ist. Da T=:2ö seiner Natur nach ausgeschlossen ist, da dann 

 [x] =^[z] = 00 wird , für Triakisoktaeder als innere Kerne die Sphenoide in 

 parallele Ebenen entarten, so ist: 



2ö(t — o)a . 2ö2fl oa 



so lange -^—> , d. h. t< 20(2 — 0) ist. Nun ist t = 20(2 — 0) die 



— 1 — 2ö — T 



Gleichung einer Kurve Q. (vergl. Fig. 12 Taf. 7), die durch = 1, t = 2 und 



^. ^ 2J/2— 1 ^^21/2—1, d. h. die A. V. des Deltoidikositetraeders , geht. 



1/2 

 Diese Kurve teilt also das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder in zwei 



Teilgebiete, für welche tS2ö(2— u) ist. Für das erste dieser Teilgebiete, 



sowie für die Kurve Q selbst gelten die unter 45) angegebenen Werte von 



X, fi, V und es sind also die vier Ecken des ersten Sphenoids der Gruppierung 



und ihre Koordinaten: 17 (1,13,38): — /<, — r, l\ .34 (41, 13, 38): /«, — r, l; 



