Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 127 

 [ä] = --*^-^. Dabei ist stets: M < [ä-], [y] < M. Dann sind aber noch zwei 



2(J — T 



Fälle zu unterscheiden, je nachdem [x]<[y] oder [x]>[>/] ist. Durch die 

 Kurve [x] = [y] oder ?^-^ = -^ , die Kurve C, in Fig. 12 Taf. 7, zer- 

 fällt das noch verfügbare Gebiet Bd, V, wieder in zwei Teilgebiete. In dem 

 ersteren, das von den Kurven Cf„ C^ und C-, begrenzt wird, ist [x] < [y] < [s], d.h.: 



,„, 2(;(t — r;)« . ort 2(j2« 



während für das von den Kurven C-„ C., C^ begrenzte letzte Gebiet [«/] < [x] < [s] 

 ist, so dass 



20 — r 20- 



wird. Wir betrachten zunächst die Polyeder für die Grenzkurve Q. Die 

 Gleichung dieser Kurve lässt sich schreiben: 



2 0-2 



2ö— 1 



und ihr Verlauf ist der in Fig. 12 Taf. 7 angedeutete. Denn für = 1 er- 

 gibt sich T = 2, d. h. der Rhombendodekaederpunkt; und der Schnittpunkt 



mit der Ikositetraederkurve ist = ^^^^-—, t = ?^^^'-. Die durch diese Para- 



2 3 



meter definierte Sphenoidgruppierung ist autopolar. Es gilt zunächst all- 

 gemein für die Polyeder der Kurve Q: « = 2 = -^, r = > '^, — — , also 



" -^ ' ^ — 1 (t — ö)(ö— 1)' 



t^- , s^- :, d.h. die Hüllpolyeder dieser Sphenoidgruppierungen 



sind (6 + 8 + 12) -flächige 24 -Ecke. Für <; = i^^-, r = ^d:l±l ergibt sich 



nun: t = 2\/3 — 3, s = 1/3 — 1, d. h. die reziproken Werte der eben ge- 

 schriebenen ö und T. Dieses autopolare Polyeder ist der Grenzfall einer 

 Reihe autopolarer Polyeder, die wir nachher zu besprechen haben. — Für 

 ein weiteres Polyeder, dessen 0, r die Gleichung der Kurve CV befriedigen, 



sei a = l/^ + i , also r = ^^^±A. Es wird für die Hülle s = J 1/2, t = 1/2—1. 

 24 2 



Wir betrachten nun das Gebiet zwischen den Kurven C7, C3, Q selbst. Für 

 die Koordinaten der Hüllen der hierher gehörenden Sphenoidgruppierungen 



