Die gleicheckig-gleicLtlächigen, diskontinuierliclien und nicbtkonvexen Polyeder. 129 



Da diese Polyeder zugleich der vierten Gruppe und vierten Klasse 

 zugehören, so finden sich die polarreziproken Grui)i)ierungen innerhalb dieses 

 selben Gebietes. Wir fragen daher zunächst nach den autopolaren 



Polyedern. Für diese müssen die Bedingungen t = y-j— ' 3— = -> s = 



= - gelten. Aus beiden Gleichungen ergibt sich nach Flinführung der 

 X, fi, V für <; und t die Relation: 



2ö — T = 2T(.r— 1)2. 

 Diese Gleichung wird befriedigt durch = 1, t = 2 und 



.1/3 + 1 



» — — »^ , 2 



^^ 3 + 21/3 ^jjj^i g^gjij ^^^^ gjjjg Kurve C, (vergl. Fig. 12 'Vat 7) innerhalb 



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 des Gebietes dar. die es in zwei Teilgebiete zerlegt. Die auf ihr liegenden 



Werte o und x definieren die autopolaren Polyeder, während die Sphenoid- 



gruppierungen des einen Teilgebietes polarreziprok denen des anderen sind. 



Ein Beispiel für ein autopolares Polj^^eder, neben dem des bereits behandelten 



Grenzpunktes U, ergibt sich für 'J=-5, '^'^tt- Es wird // = 4a, 2 = — a, 



oll o 



22 11 .S — 



v^ — a, t = -^, s = t; Ai : Ao •■ /-^s = 1 : 4 : 6 1/2. Die Polyedcr mit Eckeu vierter 



Klasse, für welche der Kern ein Deltoidikositetraeder ist, dessen und r 

 also dem Teile UO der Kurve 63 zugehören, sind reziprok zu solchen 

 Polyedern, deren und t der anderen Grenzkurve C7 des Gebietes angehören. 

 Es sei z. B. das Deltoidikositetraeder = \/2, t = 1/2 + 1 gewählt. Dann ist 



// = (2 + l/2)a, /l = 2(24-l/'2)a., v = 4(l/2 + l)a und ,5 = 2(1/2—1), i = -?J/|=^. 

 Das sind in der Tat die reziproken Werte von cr^l^i-, T = ?j/^^t_. Über- 

 dies ist für dieses Polyeder bezw. seinen Hüllkörper : l-^ -. k., : /.-^ = 1 : 2 (1/2— 1) : 1/2. 

 Wir fragen nun zum Schlüsse wieder nach den sekundären quadratischen 

 Sphenoiden, die sich aus den rhombischen Sphenoiden der vierten Gruppe 

 ergeben können. Es zeigt die durchgeführte Untersuchung, dass solche 

 sekundäre quadratische Sphenoide nur für AVerte 0, r existieren, für welche 

 die Polveder nach den Ecken der ersten Klasse zugehören. Es sind 

 dann die Quadrate der drei Kanten einer Grenzfläche: 



:2 



17,34 =4;tt2 + 4^2. 17^28" = 2(/l + /<)2 + 4r2; 28, 34 = 2 (2— ,m)'^ + 4i''-, 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 17 



