Die gleicheckig-gleicbfljicbigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 131 



die Koordinaten x = ^_Vll = 2, 155 . ., = l^^+l = 1, 366 .. Es wird also 



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das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder durch C'io in zwei Teilgebiete 

 zerlegt; in dem Gebiete EdHU'V'ist [x] > [y], d.h. o-^— t2(.j— i)2> 2r(o-— i)(t— 0); 

 in dem Gebiete U'V'O ist M <[?/], d.h. o^— r-2(o— i)'^ < 2t(o-— 1)(t — -j), 

 während auf der Kurve C',u die Gleichung 54) besteht und [x] = [«/] ist. 

 Vergleichen wir nun [x] mit [2]. Es ist [s] = [x]. wenn 



55) 2o-(t— ö) = 0-2— t2(o-— 1)2 



ist. Dies ist die Gleichung einer Kurve Cj, (Fig. 11 Taf. 7). Für 0=1 



• 3 . 'i — 



ist T = - (ein bestimmtes Tetrakishexaeder) ; für o = Mst t = 3 1/ 7 — 6 = 1, 938 . . 

 d. h. die Kurve C'i, durchquert das Gebiet der konvexen Hexakisoktaeder, 

 und zwar schneidet sie die Kurve 63 im Punkte t = 21/2—1 für die A. V. 

 des Deltoidikositetraeders. Eis zerfällt also durch C'u das obengenannte 

 erste Gebiet EdHU'V in die zwei Teilgebiete iJlfilf' und BRdV'U'M'. Im 

 Gebiete REM' ist 2o-(t— .;) < o^— t2(o— 1)2, d.h. [^]<[a;]; in den Gebieten 

 BBdVü'M MWik U'V'O ist 2o(t— 0) > o^— t^Oj— ip, d.h. W > M, während 

 für die Kurve C'i, [z] = [x] ist. Vergleicht man endlich [«/] und [z\ so findet 

 man, dass für alle Werte innerhalb der drei Gebiete \ß\ > [2/] ist, da stets 

 T < -^ ist für alle konvexen Hexakisoktaeder. Das Ergebnis der Gesamt- 



ö — 1 



Untersuchung ist also, dass die Sphenoidkombinationen der zweiten Gruppe 

 nach den Ecken drei verschiedenen Klassen zugehören, die der Reihe nach 

 zu diskutieren sind. Wir beginnen mit den Sphenoidgruppierungen des 

 Gebietes liJRciF'f/'ilf'. Hier ist a; = —A, «/ = —//, ^ = r für die von den 

 Flächen 1), 23), 36) gebildete Ecke, d. i. die Ecke 5). Die drei übrigen 

 Ecken des ersten Sphenoids sind also: 41(45,23,36): — 1, ^, — v, 15(1,45,36): 

 ;i, — r, //; 28 (l, 45, 23): X, v, — //; d. h. nach den Ecken gehören diese Sphenoid- 



gruppierungen zur zweiten Klasse. Da [i = _^_ 2(-^-i\2 > ^ ^ '^IT-' 



so ist: 



52 — t2(ö— 1)2' 



2o-(t— ö) 



56) 



(to+0 — t)(3t — ö — öf)' 

 2 ö (t—ö) + 0-2— r2((7— 1)2 

 (tö + ö — T)(3r — — öt) 



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