134 Max Brückner, 



zwei verschiedenen der zwölf Sphenoide fallen in eine Ebene; in jeder Ecke 

 des Hüllpolyeders fallen zwei Ecken verschiedener Sphenoide zusammen. 

 Das Modell dieses diskontinuierlichen Polyeders zeigt Fig. 12 Taf. 23; die 

 Fläche ist Fig. 4 Taf. 7. Wir waren diesem Polyeder schon in der vierten 

 Gruppe rhombischer Sphenoide begegnet, wofür sich der Grund sofort zeigen 



wird. — Für den zweiten Grenzwert, nämlich = ^1*^ — , r = ^"'" ^ des 



Punktes C wird ;i = /< = (2 + l/3)a, 2^ = (3 + 2t/'3)«, < = 2l/iT— 3, s = l/s— 1, 

 d. h. das Polyeder ist autopolar, wie denn in der Tat die Werte 0, r der 

 Gleichung der Kurve Cio genügen. Für die Kanten des Hüllpolyeders, ein 



(6 + 8 + 12) -flächiges 24-Eck gilt ^2 = ^"3 = 1 • ^ i/2- Je zwei Flächen des 



diskontinuierlichen Polyeders liegen in einer Ebene des inneren Deltoid- 

 ikositetraeders , je zwei Ecken zweier verschiedener der zwölf Sphenoide 

 fallen in einer Ecke des Hüllpolyeders zusammen, gewissermassen eine 

 sechskantige Ecke zweiter Art bildend, wie Fig. 8 Taf. 7 zeigt, bei der 

 zwei Seitenflächen in einer Ebene liegen. Das Modell dieses autopolaren 

 Polyeders zeigt Fig. 7 Taf. 23; die Fläche ist in Fig. 7 Taf. 5 gezeichnet. 

 Suchen wir nun ganz allgemein diejenigen Sphenoidgruppierungen, 

 deren Hülle ein (6 + 8 + 12) -flächiges 24-Eck ist, so ergibt die Bedingung 

 X = n für ö und t wieder die Gleichung der Kurve Cio. Für diese einfach-un- 

 endliche Schar von Polyedern gilt n = X = ^, v = ^^^_^^^^_^y t = g^^^iz^yip^' 



« = jt~nt- 7' ^^ '■ ^'3 = [""-• ^(^J-l)] = ^(«J-D 1/2- 

 2t(ö — Ij + ö 



Die von diesen Sphenoiden gebildeten diskontinuierlichen Polyeder 

 sind polarreziprok mit den vorhin behandelten Polyedern zweiter Klasse, 

 deren innerer Kern ein Deltoidikositetraeder w^ar, denn erstens erfüllen die 

 obigen Werte s und t die Gleichung t = 2s — i, und zweitens erfüllen die 



Werte s und t jener Polyeder, nämlich die Werte t = ,^ , s = — . ^ — 



die Gleichung, die sich aus o2— tHö— 1)'' = 2t(ö— i)(t— 0) ergibt, wenn 



<; = -, T = - gesetzt wird, nämlich die Bedingung 



ö s 



<2 + (1 — 5)2 = 2 (1— S) iS — t). 



Es sind also die Polyeder der Kurve C.o und der Deltoid- 

 ikositetraederkurve II'U' polarreziprok. Für den Schnittpunkt V 



